度量空間

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

度量空間,度量之所也。夫度量者,相去之程也。

定義[]

量度空間者,集合也,凡二物之間必有一數,曰度量(「d」)[一]。凡度量者,必以下是從:

  • 二物之度量,非負也。(「d(x,y) \ge 0」)
  • 二物之度量為零,同乎二物皆一也。(「d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y」)
  • 甲乙之度量,同乎乙甲之度量。(「d(x,y) = d(y,x)」)
  • 甲乙之度量,少於甲丙與乙丙度量之和矣(「d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)」)。此謂三角不等式也。

取一物曰心(a),及一正數曰半徑(r)。凡與心之度量小於半徑者,聚以成集,謂開球(「B(b,r)={ x | d(x,a) < r}」)。任意開球之並,曰開集。故度量空間實拓撲空間也。

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  • 取一集,凡相異之物,度量為一。此度量空間,其子集皆開集也。
  • 歐幾里德空間者,高維實空間(「\mathbb{R}^n」)合一度量也。凡二點,合其差各部之方,再開方,則得歐幾里德度量。(「d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}」)
  • 實高維實空間,凡二點,合其差各部之模,得一度量也。(「d(x,y)=|x_1-y_1|+\cdots+|x_n-y_n|」)
  • 範空間者,度量空間也。

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  1. 集與己之直積映射實數,即d: M \times M \rightarrow \mathbb{R}