範空間

文出維基大典
往:
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

範空間,範之所也。夫,物之長也。

定義[]

範空間者,實矢量空間或複矢量空間也,凡物(「x」)必有一數,曰(「\|x\|」)[一]。凡範者,必以下是從:

  • 範者,非負也。(「\|x\| \ge 0」)
  • 範為零者,零也。(「\|x\| = 0\Leftrightarrow x = 0」)
  • 數乘物以範,同乎數之絕對值乘物之範。(「\|kx\| = |k|\|x\|」)
  • 物相加之範,少於物之範相加矣(「\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|」)。此謂三角不等式也。

取二物,其差之範,度量也(「d(x,y)=\|x-y\|」)。故範空間實度量空間也。

[]

  • 歐幾里德空間者,高維實空間(「\mathbb{R}^n」)合一範也。凡一點,合其各部之方,再開方,則得歐幾里德範。(「\|x\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}」)
  • 實高維實空間,合一點各部之絕對值,得一範也。(「\|x\|=|x_1|+\cdots+|x_n|」)
  • 實數域,複數域,四元數集,八元數集,皆範空間也,以絕對值為範耳。
  • 內積空間者,範空間也。其範必合平行四邊形律,即二物範方之合,同乎其和差兩者範方之合(「\|x\|^2+\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2」)。有定理云,凡範空間合乎平行四邊形律者,內積空間也。

[]

範環

範代數

[]

  1. 映射實數,即\|\cdot\|: M \rightarrow \mathbb{R}