範空間

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

範空間，範之所也。夫範，物之長也。

定義

範空間者，實矢量空間或複矢量空間也，凡物（「x」）必有一數，曰範（「$\|x\|$」）。凡範者，必以下是從：

• 範者，非負也。（「$\|x\| \ge 0$」）
• 範為零者，零也。（「$\|x\| = 0\Leftrightarrow x = 0$」）
• 數乘物以範，同乎數之絕對值乘物之範。（「$\|kx\| = |k|\|x\|$」）
• 物相加之範，少於物之範相加矣（「$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$」）。此謂三角不等式也。

取二物，其差之範，度量也（「$d(x,y)=\|x-y\|$」）。故範空間實度量空間也。

例

• 歐幾里德空間者，高維實空間（「$\mathbb{R}^n$」）合一範也。凡一點，合其各部之方，再開方，則得歐幾里德範。（「$\|x\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$」）
• 實高維實空間，合一點各部之絕對值，得一範也。（「$\|x\|=|x_1|+\cdots+|x_n|$」）
• 實數域，複數域，四元數集，八元數集，皆範空間也，以絕對值為範耳。
• 內積空間者，範空間也。其範必合平行四邊形律，即二物範方之合，同乎其和差兩者範方之合（「$\|x\|^2+\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2$」）。有定理云，凡範空間合乎平行四邊形律者，內積空間也。

見

範環

範代數