子拓撲

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

子拓撲者,拓撲所衍者也。子集合子拓撲,成拓撲子空間耳。以此觀之,三角、正方、曲線流形,莫非拓撲空間也。

定義[]

拓撲空間甲((X, \tau)),其開集與子集乙(S)之,聚以成集,曰子拓撲\tau_S = \lbrace S \cap U \mid U \in \tau \rbrace.)。乙合子拓撲,成拓撲空間,曰甲之拓撲子空間

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  • 甲之拓撲子空間乙,其開集咸甲之開集交乙。
  • 甲之拓撲子空間乙,其閉集咸甲之閉集交乙。
  • 定義于甲之連續函數,其限于乙亦連續。
  • 連續函數,倍域改為值域,亦連續(f:X\to Y連續,則f:X\to f(X)亦連續)。
  • 拓撲子空間之拓撲子空間,亦拓撲子空間耳。

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  • 若實數乾(a)視為「乾,零」對((a,0)),則實數乃平面之拓撲子空間。
  • 三角,正方,平面,線段,皆平面之拓撲子空間。