開集

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

開集者,拓撲之屬也。拓撲者,位相之本也。(詳見拓撲空間一文,本文聊論度量空間之開集而已。)

度量空間之開集者,開球也。開球者,無邊之球也,故開集為無邊之集。

定義[]

取一物(x)作心,取一正數(r)為半徑,凡與物相去小於半徑者,聚以成集,曰開球(「B(x;r) = \left \{ y|d(x,y) < r \right \} 」)。開球之並,曰開集。

或曰:開集(A)者,取任一點,必有以此點為心之開球,含于本集之內(「(\forall x\in A)\exists r B(x,r)\subseteq A」)

開集之補集,曰閉集

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  • 度量空間,開集也,半徑一之開球之並也。(「A=\cup_{x\in A}B(x,1)」)
  • 開球必開集也。
  • 空集,開集也。
  • 開集之並,開集也。
  • 若干開集之,開集也。
  • 開集去閉集,開集也。

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  • 數線為度量空間,大于二而小于三之開區間(「(2,3)」),開集也。
  • 數線為度量空間,小于二或大于三之者,聚以成集(「(-∞,2) ∪ (3,∞)」),開集也。
  • 數線為度量空間,大于二而不大于三之半閉區間(「(2,3]」)非開集也。蓋以三為心之開球必不含于內。
  • 不大于三之數為度量空間(「(-∞ 3]」),則大于二而不大于三之半閉區間,實以三為心,半徑為一之開球也。(「B(3,1)=(2,3][一]」)
  • 平面為度量空間,不含邊界之多邊形內側,內側,橢圓內側,皆開集也。

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  1. 大于三者,如三又二分之一,不在度量空間之內,故亦不在開球之內。