連續

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

連續者,無突變也。

定義[]

拓撲空間甲乙,有甲映射乙曰天(f)。

甲之屬乾(a),其象曰坤(f(a)=b)。凡坤之鄰域(U),乾必有鄰域(V)其含于其中(f(V)⊆U),則曰天連續于乾。

若天連續于甲之所有點,同乎乙之開集(U)原象(f-1(U))咸開,則曰天連續于甲。

度量空間[]

甲乙皆度量空間。天連續于乾,同乎凡以坤為心之開球(B(b,ε)),必有以乾為心之開球(B(a,δ)),其象含以其中(f(B(a,δ)⊆B(b,ε));同乎凡有正數子(ε>0),必有正數丑(δ>0),相去乾小于丑者(d(x,a)<δ),其象相去坤必小于子(d(f(x),b)<ε)。意謂變化愈小,其象之變化亦小。

實數函數[]

甲乙乃區間。天連續于乾,同乎凡有正數子(ε>0),必有正數丑(δ>0),與乾相差小于丑者(|x-a|<δ),其象與坤相差必小于子(|f(x)-b|<ε)。[一]

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  • 天(f)連續于乾(a),地(g)連續于乾之象(f(a)),則地複合天(g o f)亦連續于乾。
  • 天(f)連續于乾(a),地(g)亦連續于乾,則天並地(x→(f(x),g(x)))亦連續于乾。
  • 倍域為實數集,則連續函數之加減乘咸連續。若除數非零,則函數之商亦連續也。

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  • 多項式,連續也。
  • 行列式,連續也。
  • 實數四則,連續也。
  • 三角函數,連續也。
  • 有函數,有理數射壹,無理數射零,無處連續也。(f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\
  1\mbox{ if }x \in \mathbb{Q}
\end{cases}
  • 有函數,有理數射己,無理數射零,惟連續于零也。(f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\
  x\mbox{ if }x \in \mathbb{Q}
\end{cases}
  • 有函數,大于零者射壹,不大于零者射零,惟不連續于零也。(f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \le 0\\
  1\mbox{ if }x >0
\end{cases}

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  1. 此謂ε-δ定義,為柯西所立。