拓撲空間

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

拓撲空間開集之所也。開集者,無邊者也,疇人以為位相之本。拓撲空間之究,曰拓撲學

定義[]

拓撲空間者,集(A)也,且有幕集[一]子集,曰拓撲(τ)[二][三],其物曰開集。凡拓撲者,必以下是從:

  • 空間與空集,皆開集(「A,φ ∈ τ」)。
  • 取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「B \subseteq \tau \implies \cup_{b\in B}b \in \tau」)。
  • 兩開集之交,亦開集也(「x,y ∈ τ ⇒ x ∩ y ∈ τ」)。

開集之補集,曰閉集。且有:

  • 空間與空集,皆閉集。
  • 取拓撲之子集,其物之交,亦閉集也。
  • 兩閉集之並,亦閉集也。

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  • 集與空,成一拓撲。(「τ = {A,φ}」)
  • 幕集,成一拓撲,曰離散拓撲。(「τ = P(A)」)
  • 度量空間,其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。
  • 取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之序拓撲。(「\tau=\{ (-\infty,a) | a\in \mathbb{R}\} \cup \{\phi, \mathbb{R}\}」)
  • 平面上一切圖形,合子拓撲,亦拓撲空間也。

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  1. 子集之聚。
  2. topology之音譯,同于拓撲學。
  3. 若同一集合,不同拓撲,則以 (A,τ1) 及 (A,τ1)分辨之。