平行公理

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α(角甲乙丙)合β(角乙甲丁)小於二直角,則引長二線交於此側

平行公理者,歐氏幾何中第五公理也。

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角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。

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公理五不比前四者,甚為冗長,不易見其明也。有泰西疇人指其不足為公理也,然嘗以首四公理證平行公理,皆不可得,更有證其不可由四公理得者。

後有捨平行公理而造新幾何者,概稱非歐幾何射影幾何雙曲幾何等皆如是。

等價命題[]

有疇人稱其可證平行公理者,蓋皆引與公理五等價之命題而不成。舉些許示之:

  • 過線外一點恰有一平行線
  • 有一三角形,其內角和為二直角
  • 凡三角形者,其內角和皆等
  • 有二三角形,相似而不全等
  • 凡三角形有外接圓
  • 一四邊形,其三內角為直角,則其第四角亦為直角
  • 有二線不相交而處處等距
  • 二線皆與另一線平行,則前二線相平行