黃金分割

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

黄金分割,一曰黄金比,或曰黃金數,泰西以為藝術之數也。五開方,加一,再半之,即得此數。約為一點六一八,疇人記之曰φ。

矩形,以短邊作正方形,去之,得相似矩形,則矩形兩邊之比為黃金數。或曰:有矩形,短減長比短,同乎短比長(「a-b:b=b:a」),則長比短為黃金數。

古希臘人早知之,歐几里得入《幾何原本》。意大利帕喬利稱神聖比例。迨文藝復興之時,建築作畫,咸用此比。後人遂穿鑿附會,謂最美之事,必為黃金比。

或作「黃金臉孔」,謂最美之五官,咸為黃金比耳。

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  • 黃金數之倒數,同乎黃金數減一,約零點六一八。(「1/φ = φ - 1」或「φ2 - φ - 1 = 0」)
  • 斐波那契数列,可以黃金比示之。
  • 黃金比之連分數者,恒為一也。(「φ = [1;1,1,1,...]」)
  • 一開方,加一復開方,加一復開方,以至無窮,其極限為黃金數。(「\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}\,.」)
  • 三十六度之餘弦乘二,黃金數也。同乎負六百六十六度之正弦乘二,然泰西曰六六六乃魔鬼數也,捉狹者以為有趣。
  • 黃金分割法,或零點六一八法,為優選學之法也。