歐氏幾何

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歐氏幾何歐几里得始創也。初述於《幾何原本》。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏耳,及傳中華,徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪;迨十九世紀,高斯羅巴切夫斯基波約三人破之,立新幾何,故其亦曰經典幾何。二十世紀初,相對論立,其以非歐幾何為本,歐氏幾何獨尊物理不再耳!

公理[]

歐氏幾何,公理系統之始。夫公理者,基礎也,不可證而不證自明者也。
徐、利二人初譯《幾何原本》,有「求作四、公論十九」;後有以「公設」曰「求作」、「公理」曰「公論」者;今則不加細分,概曰「公理」即可。

原譯「求作」者:

一、此點至彼點可作一線段。

二、線段可從彼界直行引長之。

三、線段作半徑,點為心,可作一圓。

四、直角皆等。

五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。

原譯「公論」者,皆易也,在此不述。

平行公理及非歐幾何[]

首四公理,極簡明,然公理五(亦稱平行公理),冗長甚耳,不易見其明也。有泰西疇人指其不足為公理也,然嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。

十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰非歐幾何。然十七世紀初,德薩格射影幾何,謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。

有疇人棄公理五,得絕對幾何。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。

希爾伯特公理[]

以當世數學觀之,《幾何原本》殊不嚴謹。希爾伯特遂於一八九九年作二十公理,以完歐氏幾何耳。