勾股定理

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注︰蓋當今之世,數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事。舉本文為例,甲(A)之示,即文句以甲代一物,算式以A代之,以合文言、數學,則無論文理之人,咸可明之也。
勾股冪合以成弦冪

勾股定理,又曰畢氏定理,直角三角形之理也。

[] 平面幾何

勾股定理云:「勾股各自乘,並之,弦之方也。」

中華曰商高肇之,故又曰商高定理,始述於周髀算經東漢趙爽勾股方圓圖證;泰西曰畢氏定理古埃及人或巴比倫人所肇,古希臘畢達哥拉斯始證。

有證逾百,皆以歐氏幾何,蓋其等價平行公理也。

[] 內積空間

畢氏定理云:「二矢量正交,則其平方之和,同乎其和之範平方也。」(<a,b>=0 → |a|2+|b|2=|a+b|2

[] 非歐幾何

觀球面,畢氏定理云:「勾股各除以半徑,取餘弦,乘之,股除以半徑之餘弦也。」(cos(a/R)cos(b/R)=cos(c/R))

曲率為負一之雙曲平面,畢氏定理云:「勾股各取雙曲餘弦,乘之,股之雙曲餘弦也。」(cosh(a)cosh(b)=cosh(c))

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