餘弦定理

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餘弦定理者,三角學定理也。勾股定理為其特例。

術曰:在一三角形中,一邊長之冪等於餘二邊長之乘冪之和,復損所餘二界,乘之以二,復乘其夾角餘弦值三者之積。


數示茲列如下(先十天干,後十二地支,後六十四卦,有映者天干配地支也,如甲子、乙丑、丙寅、丁卯,遵此類推):


題設:今有三角形,三邊各令為甲(邊a)、乙(邊b)、丙(邊c),所應三角為子(角A)、丑(角B)、寅(角C),據餘弦定理而有:

  • 冪甲(邊a之冪)之求:冪乙(邊b之冪)加冪丙(邊c之冪),損乙(邊b)丙(邊c)之積乘以二倍角子(角A)。西方示之以a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A

依是理也,推而度得:

  • 冪乙(邊b之冪)之求:冪甲(邊a之冪)加冪丙(邊c之冪),損甲(邊a)丙(邊c)之積乘以二倍角丑(角B)。西方示之以b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cos B
  • 冪丙(邊c之冪)之求:冪甲(邊a之冪)加冪乙(邊b之冪),損甲(邊a)乙(邊b)之積乘以二倍角寅(角C)。西方示之以c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos C


其中或有直角者,勾股是也。

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此定理自歐幾里得《幾何原本》即有之[一],其二邊之夾角或鈍角,或銳角,書中分此二命題而證之[二]

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  1. 《幾何原本》卷二‧命題十二、十三
  2. 唯直角時即勾股定理,證於該書卷一‧命題四十七