直積

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
A直積B

直積者,又名積集笛卡兒積,為坐標也。

定義[]

甲乙為集。甲(A)取一物曰乾(a),乙(B)取一物曰坤(b),合成乾坤對(記曰「(a,b)」),命作有序對。以甲乙之乾坤對,聚以成集,曰甲乙之直積。以乘號記之,其集之積記為集集相乘,又得名積集。(記曰「A \times B =\{ (a,b) : a\in A, b\in B \}」)。

若有無數集合,各取一物,曰。聚以成集,得無數集合之直積也。見選擇公理一文,兹不贅耳。

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  • 橫有三行,縱有二列,則行一列一、行一列二、行二列一、行二列二、行三列一、行三列二,合成橫縱之直積也。(記曰「{1, 2, 3} × {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}」)
  • 之直積,複平面是也。
  • 物與空集之直積,亦空耳。(記曰「A×φ=φ」)

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答曰:茲可論矣。夫干支者,甲子,乙丑……如是以次,十干十二支,止得六十干支耳,非直積所論之百二也,其有甲子、甲寅、乙丑、乙卯,而無甲丑、甲卯、乙子、乙寅。故干支非直積也。六十四卦者,取二卦,分曰上下卦,合而成之,各卦均互合焉,譬若上兌下乾,曰澤天夬;上震下坎,曰雷水解。一一合焉,未嘗無對,故,六十四卦乃直積