偏序

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

偏序者,柣序也。大小,長短,前後,皆偏序也。

定義[]

偏序者,關係也,且曰「不大於」,必以下是從。

  • 物不大於己。曰反射
  • 甲不大於乙,乙不大於甲,則甲同乎乙。曰反對稱
  • 甲不大於乙,乙不大於丙,則甲不大於丙。曰傳遞

最、極[]

凡一界之内,小於無物者,曰極大;大於無物者,曰極小

物皆小於其者,曰最大;物皆大於其者,曰最小。最大必極大,最小必極小,反之則不然。

上界,下界[]

取子集,大於此集之所有,曰上界;小於此集之所有,曰下界

若上界有最小者,曰最小上界;若下界有最大者,曰最大下界

完備[]

完備者,凡子集有上界者必有最小上界也,同乎凡子集有下界者必有最大下界耳。

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者,凡二物必有最小上界及最大下界也。

全序[]

全序者,凡二物,必有前者小於後,或後者小於前。全序必格也。

良序[]

良序者,凡子集必有最小物也。良序必全序也。良序必完備也。噫,良序集果真井然有序耳,故得此名。

良序公理曰:「集皆可良序也。」此與選擇公理等價耳。

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除盡[]

以甲為自然數集,乙為甲一。以「除盡」為偏序,故有三不少於六,五不少於百。然三與百無可比耳,故「除盡」非全序耳。

一為甲之最小。三、七為乙之極小,然乙無最小者也。甲乙皆無極大者。

取甲之子集,其物之公因數乃下界,最大公因數為最大下界。

取甲之二物,最大公因數為最大下界,最小公倍數為最小上界,故甲乃格也。取乙之二、三,並無最大下界[一],故乙非格也。

不論甲乙,凡子集有下界者,其最大公因數亦存,故有最大下界。故甲乙皆完備也。

不大于[]

觀分數集,以「不大于」為偏序。凡二物必可比,故此乃全序耳。立方大于二者,成一子集,有下界零,然無最大下界[二],是以分數集非完備耳。

觀實數集,以「不大于」為偏序,完備耳。然無最小者,故非良序。

觀正實數集,以「不大于」為偏序,完備耳。立方大于二者,成一子集,二開立方為最大下界,然非子集之物也,故子集無最小者也,是以正實數集非良序。

觀自然數集,以「不大于」為偏序,良序耳。

不小于[]

觀自然數集,以「不小于」為偏序。故三不大於二,五不大於三[三],故自然數無最小者也。故非良序耳。

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  1. 乙無一也。
  2. 二開立方非有理數也
  3. 以大作小,抽象之甚也,初學者常難之。