關係 (數學)

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

關係者,繫也。

定義[]

關係,繫也,物物相聯也。標以物物之有序對,即誠為直積子集也。有關係曰「關乎」(R),凡有序對乾坤屬「關乎」者(「(x,y)∈R」),則曰乾「關乎」坤(記曰「x R y」或「R(x,y)」)。

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  • 字,人與名之關係也,如岳飛字鵬舉、李白字太白。
  • 生,人之關係也,如蘇洵生蘇軾,李淵生世民。
  • 記年,天干與地支之關係也。
  • 大于,實數之關係也。
  • 不等于,實數之關係也。
  • 子集,集與集之關係也。
  • 映射,定義域與倍域之關係也。

一集之關係[]

常用者有六,

  • 物必關乎己。曰反射
  • 甲關乎乙,則乙關乎甲。曰對稱
  • 甲關乎乙,乙關乎甲,則甲同乎乙。曰反對稱
  • 甲關乎乙,乙關乎丙,則甲關乎丙。曰傳遞
  • 合反射,對稱及傳遞者,曰等價,分類之關係也。
  • 合反射,反對稱及傳遞者,曰偏序,比較之關係也。

觀乎自然數集,且看如下關係:

「前者方減後者方,平方數耳」,獨反射也。「異乎」,獨對稱也。「前者為兩倍後者」,獨反對稱也。「前者異乎一」,獨傳遞也。

「相差小于二」,反射與對稱也。「前者減後者,零或一也」,反射與反對稱也。「二者同,或前者非一」,反射與傳遞也。「二者皆異乎一」,對稱與傳遞也。「大乎」,反對稱與傳遞也。

「相差偶數」,等價也。「不小于」,偏序也。「兩者皆一」,對稱,反對稱,傳遞也。

「同乎」,唯一等價且偏序者也。