集論

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往:

集論者,當世算術之本也。凡數學之物,殆必為。若夫光大其者,乃德意志疇人康托爾(Georg Cantor)耳。

樸素集論[]

一八七四年,康托爾撰文曰:「夫實數集者,不可一一對應自然數集,故實數遠多於自然數耳。」遂始集論之學。

文出,訿譽參半。訿者曰:「數,有限之量也;以有限之理則,論無限之事,誠不可也。」

未幾,代數、幾何、運算、測度諸學,咸以集論言之。

初,物聚皆可成集,遂生悖論。故後人脩之曰︰「凡合乎公理者,方能成集耳。」至若希爾伯特(Hilbert)著《樸素集合論》,言康托爾之說,舊集論遂亦名樸素集論耳。

羅素悖論[]

羅素悖論(Russell's paradox)曰:「無己之集,聚以集成,問此集有已乎?則自相矛盾而不可解。」

言以公理集論,無己之集,聚莫集成,故羅素悖論不再耳!

公理集論[]

今疇人多宗ZFC集論,Z者,策梅羅(Zermelo)也;F者,弗蘭克爾(Fraenkel)也;C者,選擇公理(Axiom of Choice)也。其公理有十:

一曰外延公理︰甲乙之元素咸同,則甲乙亦同。

二曰空集公理︰有無物之集矣。

三曰配對公理︰凡有二物,必成一集。若二物同,則得一物之集耳。

四曰並集公理︰若有集,則有其元素之並集

五曰無窮公理馮諾曼定義之自然數,亦為集耳。

六曰分類公理:有集甲及命題乙,則甲之物合命題乙者,亦成集耳。又曰子集公理。

七曰替代公理︰有集甲及一單射,則甲之元素所射者,亦成集耳。

八曰冪集公理︰若有集,則其冪集亦存。

九曰正規公理︰若有非空集甲,則有元素乙,而甲乙之交集為空。

十曰選擇公理︰若有非空集,則有其元素之直積

結論[]

問:有如斯集,小於實數集而大於自然數集乎?此為連續統是也。

答:無論有無,咸可證無矛盾於ZFC集論,蓋有無皆有新集論耳。故曰︰「ZFC集論未足善耳。」

希爾伯持嘗期完備之集論。然於一九三一年,哥德爾(Godel)證曰:「凡合自然數之公理集論,無矛盾則弗足善耳。」此即為不完備定理耳。誠如是,則集論之限,可曰無窮耳!