實數

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加減乘除之法,列在符號之前,被動之數,古稱實數,單稱

實數者,數線之數也。聚以成集,記曰\mathbb{R}。其名由來,請見複數

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正數者,線段之長也。

求加減乘除,以尺規作圖法。

線段首尾相接,得二數之和。線段齊尾重疊,棄相交之處,得二數之差。

作一直角三角形,勾一,股乘數[一];作一相似三角形,勾被乘數,股為積。作一直角三角形,勾一,股除數;作一相似三角形,股被除數,勾為商。

由正數之法,推任意實數之四則,猶自然數入整數也。詳見整數一文[二]。不同者,獨求商法也。

求和者,異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。求差者,同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。求積者,同名正之,異名負之。求商者,同名正之,異名負之。去其名,曰絕對值

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當世數學,空集生自然數,然後整數分數、實數、複數。然分數何生實數?

實數定義,無有常法。兹聊述之。

戴氏切割[]

有非空集甲乙,其並為分數集,且甲之物必小於乙之物,則甲乙成一有序對。例:凡分數之立方有異於三者,按其大小,各成一集,得一有序對,曰三開立方。若觀以數線,則正割於所翼處耳。

戴德金(Dedekind)首提此法,因以為名。其合幾何直觀,然難以四則算之耳。

柯西序列[]

分數之柯西序列者,趨於一點之序列也。此法四則簡明,加減乘除,逐項算之(「{an}*{bn}={an*bn}」,* 可為加減乘除也)。然有二弊。

首項一,餘皆二(「1, 2, 2, 2, 2, ...」),為實數二;首項三,餘皆二(「3, 2, 2, 2, 2, ...」),亦實數二也。可知此法,一數多形,誠不便耳,此一弊也。

坊間多以十進數列(「1, 1.4, 1.44, 1.442, 1.4422, ...」)定義三開立方(「1.4422495701...」)。惟此難與三又億分之一開立法分辨也。故尋相應之序列,殊不易耳,此二弊也。[三]

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前三者合曰有序域,而僅實數集為完備有序域耳。以其定義實數,亦無不可,然不知實數為何物也。

實數既為分數之柯西序列,故實數域乃分數域之拓撲閉包也。

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  1. 若乘數大於一,則勾股互易。
  2. 九章之正負術,以籌作法,惟用線段亦無不可。
  3. 有序列{an}合「2-1/n ≤an3 ≤ 2」者,三開立方也。
  4. 以複數論,負一開方莫大乎或小乎一也,故數未必可分大小。


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