勾股定理

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

勾股定理,西方曰畢氏定理,直角三角形之理也。餘弦定理之特例,亦為托勒密定理之特例。

平面幾何[]

勾股定理云:「勾股各自乘,並之,為弦實。開方除之,即弦。」

中華曰商高肇之,故又曰商高定理,始述於周髀算經東漢趙爽勾股方圓圖證;泰西曰畢氏定理古埃及人或巴比倫人所肇,古希臘畢達哥拉斯始證。

有證逾百,皆以歐氏幾何,蓋其等價平行公理也。

非歐幾何[]

觀球面,勾股定理云:「勾股各除以半徑,取餘弦,乘之,股除以半徑之餘弦也。」(\cos \frac{a}{R} \cos \frac{b}{R} = \cos \frac{c}{R}

曲率為負一之雙曲平面,勾股定理云:「勾股各取雙曲餘弦,乘之,股之雙曲餘弦也。」(\cosh a \cosh b = \cosh c

證明[]

趙爽「勾股圓方圖」之證[]

勾股冪合以成弦冪
按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實。
——三國·吳國·趙爽,《周髀算經注》

釋:設「勾」為 a,「股」為 b,「弦」為 c。「勾股相乘」乃 ab ,即朱實二(因朱實乃三角形,面積乃 \frac{1}{2}ab 也)。倍之者,乃 2ab ,即朱實四也。「勾股之差」乃 b-a ,其方者乃 (b-a)^2 ,黃實也。朱實四及黃實之和,弦實也,即 c^2 。是故 2ab+(b-a)^2=c^2 ,化簡得 a^2+b^2=c^2 。勾股定理得證矣。

趙爽 勾股圓方圖證勾股定理

劉徽「割補術」之證[]

劉徽 青朱出入圖
勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其餘不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。
——三國·魏國·劉徽,《九章算術注》

釋:設「勾」為 a,「股」為 b,「弦」為 c。「勾自乘」乃 a^2 ,即「朱方」;「股自乘」乃 b^2 ,即「青方」。朱方及青方之和,等於大正方形之面積,乃「弦方」,即 c^2 。故 a^2+b^2=c^2 也。

歐幾里得《幾何原本》之證[]

歐幾里得《幾何原本》之證

\triangle ABC為一直角三角形,其\angle CAB者,直角也。自A點作垂線於對邊。延是線,分對邊之正方形為二也,其面積等於二正方形之和也。

證之先,有四輔助定理:

  • 有三角形二,若等其二邊,并等其夾角,則二者,全等也。(SAS定理)
  • 三角形之面積者,半之同底同高之平行四邊形之面積也。
  • 任一正方形之面積者,邊長平方也。
  • 任一矩形之面積者,長寛之乘積也(據輔助定理三)。

證之思:上述二正方形,輔之以同底等高之三角形,據其面積關係,等於下二等面積之矩形也。

證明輔圖二

證明:

  1. \triangle ABC為一直角三角形,其\angle CAB者,直角也。
  2. 其邊,BC、AB、CA也。依序繪四方形,CBDE、BAGF及ACIH也。
  3. 經點A作平行線於BD、CE也。交BC及DE分別於點K、L也。
  4. 連CF、AD,三角形\triangle BCF及三角形\triangle BDA成也。
  5. \angle CAB\triangle BAG者,直角也。是故C、A、G都三點共線。同理可證B、A、H三點共線。
  6. \angle CBD\angle FBA,皆直角也,故\angle ABD等於\angle FBC
  7. 因AB及BD分別等於FB及BC,故\triangle ABD等於\triangle FBC
  8. 因A、K、L三點共線,故矩形BDLK之面積,二倍於\triangle ABD也。
  9. 因C、A、G三點共線,故矩形BAGF之面積,二倍於\triangle FBC也。
  10. 是故矩形BDLK之面積,等於BAGF之面積也,乃AB^2也。
  11. 同理可證,四邊形CKLE之面積,等於四邊形ACIH之面積也,乃AC^2
  12. 求和,得 AB^2 + AC^2 = BD \times BK + KL \times KC
  13. BD=KLBD \times BK + KL \times KC = BD(BK + KC) = BD \times BC
  14. 又四邊形CBDE者,正方形也,故AB^2 + AC^2 = BC^2也。

是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節[一]

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  1. 《幾何原本》第1.47節(英文),歐幾里德著

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