勾股定理

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

勾股定理,西方曰畢氏定理,直角三角形之理也。餘弦定理之特例,亦為托勒密定理之特例。

平面幾何[]

勾股定理云:「勾股各自乘,並之,為弦實。開方除之,即弦。」

中華曰商高肇之,故又曰商高定理,始述於周髀算經東漢趙爽勾股方圓圖證;泰西曰畢氏定理古埃及人或巴比倫人所肇,古希臘畢達哥拉斯始證。

有證逾百,皆以歐氏幾何,蓋其等價平行公理也。

非歐幾何[]

觀球面,勾股定理云:「勾股各除以半徑,取餘弦,乘之,股除以半徑之餘弦也。」(

曲率為負一之雙曲平面,勾股定理云:「勾股各取雙曲餘弦,乘之,股之雙曲餘弦也。」(

證明[]

趙爽「勾股圓方圖」之證[]

勾股冪合以成弦冪
按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實。
——三國·吳國·趙爽,《周髀算經注》

釋:設「勾」為 a,「股」為 b,「弦」為 c。「勾股相乘」乃 ab ,即朱實二(因朱實乃三角形,面積乃 也)。倍之者,乃 2ab ,即朱實四也。「勾股之差」乃 b-a ,其方者乃 ,黃實也。朱實四及黃實之和,弦實也,即 。是故 ,化簡得 。勾股定理得證矣。

趙爽 勾股圓方圖證勾股定理

劉徽「割補術」之證[]

劉徽 青朱出入圖
勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其餘不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。
——三國·魏國·劉徽,《九章算術注》

釋:設「勾」為 a,「股」為 b,「弦」為 c。「勾自乘」乃 ,即「朱方」;「股自乘」乃 ,即「青方」。朱方及青方之和,等於大正方形之面積,乃「弦方」,即 。故 也。

歐幾里得《幾何原本》之證[]

歐幾里得《幾何原本》之證

為一直角三角形,其者,直角也。自A點作垂線於對邊。延是線,分對邊之正方形為二也,其面積等於二正方形之和也。

證之先,有四輔助定理:

  • 有三角形二,若等其二邊,并等其夾角,則二者,全等也。(SAS定理)
  • 三角形之面積者,半之同底同高之平行四邊形之面積也。
  • 任一正方形之面積者,邊長平方也。
  • 任一矩形之面積者,長寛之乘積也(據輔助定理三)。

證之思:上述二正方形,輔之以同底等高之三角形,據其面積關係,等於下二等面積之矩形也。

證明輔圖二

證明:

  1. 為一直角三角形,其者,直角也。
  2. 其邊,BC、AB、CA也。依序繪四方形,CBDE、BAGF及ACIH也。
  3. 經點A作平行線於BD、CE也。交BC及DE分別於點K、L也。
  4. 連CF、AD,三角形及三角形成也。
  5. 者,直角也。是故C、A、G都三點共線。同理可證B、A、H三點共線。
  6. ,皆直角也,故等於
  7. 因AB及BD分別等於FB及BC,故等於
  8. 因A、K、L三點共線,故矩形BDLK之面積,二倍於也。
  9. 因C、A、G三點共線,故矩形BAGF之面積,二倍於也。
  10. 是故矩形BDLK之面積,等於BAGF之面積也,乃也。
  11. 同理可證,四邊形CKLE之面積,等於四邊形ACIH之面積也,乃
  12. 求和,得
  13. 又四邊形CBDE者,正方形也,故也。

是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節[一]

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  1. 《幾何原本》第1.47節(英文),歐幾里德著

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