拋物線

拋物線者，一名畢弗，平方函數之易也，亦圓錐曲線耳。投射矢石，咸從之而行，因以為名。

有對稱軸，軸上有焦點。光平行於軸，反射於線，必至焦點。故電子望遠鏡咸為拋物線，所以聚光源也，探照燈則反之，所以得光束也。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

定義

平面上落一焦點$P(x,y)$，又有一線$L:ax+by+c=0$，點P不落於線，而求至項點距同於至線之距者，其形也拋物線也。

方程

定義式

據其義，集為圖形之點$P(x,y)$，至準、焦同長也。 定焦$F(x_{F},y_{F})$、準$L:ax+by+c=0$。以畢氏定理知至焦之長曰${\sqrt {(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}}}$，至準之距曰${\frac {|ax+by+c=0|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$，其同長者，即：

• ${\sqrt {(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}}}={\frac {|ax+by+c=0|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

對稱軸平行於座標軸

以$A(x_{0},y_{0})$為頂。

左右開向

• $y^{2}=4cx$，焦距即$|c|$。$c>0$者，右口也；$c<0$者，左口也。

上下開向

• $x^{2}=4cy$，焦距即$|c|$。$c>0$者，上口也；$c<0$者，下口也。

二次函數

a者，非零也。

• 以上下為口者，$y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}$或$y=ax^{2}+bx+k$。
• 以左右為口者，$x=a(y-y_{0})^{2}+x_{0}$或$x=ay^{2}+by+k$。

推導

設其項點(0,0)，準線$l:x=-{\frac {p}{2}}\ ,p\not =0$，集點$F({\frac {p}{2}},0)$，則可得

$\mathrm {P} =[M|MF=d]$

${\overline {MF}}={\sqrt {(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}}}\ ,d=\left\vert x+{\frac {p}{2}}\right\vert$

即

${\sqrt {(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}}}=\left\vert x+{\frac {p}{2}}\right\vert$

平方之，得

$(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}=(x+{\frac {p}{2}})^{2}$

得

$y^{2}=2px$

亦有

$x^{2}=2py$

二次函數

• $y=a(x-b)^{2}+c$

導數

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x-b)^{2}+c-[a(x-b)^{2}+c]}{\Delta x}}=a[2x+(\Delta x)^{1}-2b]$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=2a(x-b)$

• $y=ax^{2}+bx+c$

導數

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x)^{2}+b(x+\Delta x)+c-[ax^{2}+bx+c]}{\Delta x}}=2ax+a\Delta x+b$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=2ax+b$

注

幾何術語

點｜ 頂點｜ 相切｜ 線｜ 直線｜ 曲線｜ 測地線｜ 切線｜ 圓錐曲線｜ 拋物線｜ 雙曲線｜ 螺線｜ 螺旋 ｜ 面｜ 平面｜ 曲面｜ 切面｜ 三角形｜ 四邊形｜ 多邊形｜ 圓｜ 弦｜ 橢圓｜ 體｜ 長方體｜ 立方體｜ 棱錐｜ 正多面體｜ 錐體｜ 柱體｜ 球｜ 橢球｜ 角｜ 邊｜ 高｜ 長｜ 距｜ 周界｜ 面積｜ 體積｜ 圓周率｜ 黃金分割｜ 相似｜ 全等｜ 平行｜ 垂直｜ 平行公理｜ 勾股定理｜ 歐氏幾何｜ 尺規作圖｜ 非歐幾何｜ 球面幾何｜ 雙曲幾何｜ 流形｜ 坐標幾何｜ 射影幾何｜ 仿射幾何