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勾股定理

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文出維基大典
（渡自畢氏定理）
三四五之弦圖，李約瑟書第三卷所錄

勾股定理（英語Pythagorean theorem；日本謂之三平方の定理[一]；或稱商高定理），西方曰畢氏定理，直角三角形之理也。古書作句股；劉徽釋其名，以短面為句，長面為股，相與結角者為弦[二]。趙爽注《周髀》，總其術曰「句股各自乘，并之為弦實，開方除之即弦」[三]。是理也，餘弦定理之特例[四]，亦為托勒密定理之特例[五]。中土見於《周髀》《九章》，泰西著於《原本》；兩河之泥板，已錄其數，先畢氏千年有餘[六]。術簡而用博，理約而證繁。故歷代疇人，各出其證焉。

中土之源

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「句股」之名，見於《周髀算經》。其書載周公問數於商高，商高對曰「數之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一」；又曰「故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩」[七]。趙爽注之，以為「兩矩者，句股各自乘之實；共長者，并實之數」[三]。甄鸞重述其數，曰「假令勾三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，開方除之得五，爲弦也」[八]。句冪九而股冪十六，兩冪并而弦冪二十五。商高所舉，雖止一率，而句股弦相生之數，已寓其中矣。

其後榮方問於陳子，陳子以八尺之髀測日，以正晷為句，以髀為股。其求日之斜距也，曰「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日」[九]。日下六萬里而為句，日高八萬里而為股；兩冪相并而開之，邪至日所，凡十萬里[九]。商高所舉，止三四五之率；陳子所施，已為通用之術。其數雖本於測天之說，其法則今之勾股也。

《九章算術》第九卷曰句股，題下注曰「以御高深廣遠」。首三題，句三、股四、弦五，互求其一；其術曰「句股各自乘，并，而開方除之，即弦」，又以股冪減弦冪而得句，以句冪減弦冪而得股[一〇]。圓材之中，可取方版；木身之外，可度纏葛；池心之葭，可測其深；垣上之木，可求其長[一〇]。其第六題曰「今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何」，答曰水深一丈二尺，葭長一丈三尺[一〇]。設事以明術，因數以見理；此《九章》句股之大略也。

魏景元四年，劉徽注《九章》[一一]。其注句股之術曰「句自乘爲朱方，股自乘爲靑方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也，合成弦方之幂。開方除之，卽弦也」[二]。又注減冪之術曰「句股幂合以成弦幂，令去其一，則餘在者皆可得而知之」[二]。朱青二方，割而相補；出入兩實，移而不損。是非徒述其術，兼明其所以然也。

趙爽注《周髀》，附〈句股圓方圖〉，其辭曰「按弦圖，又可以句股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以句股之差自相乘為中黄實，加差實，亦成弦實」[三]。論諸形之變，則曰「或矩于外，或方于内，形詭而量均，體殊而數齊」[三]。其下復推句、股、弦三者及其和較，迭相求之，各有其術[三][六]。一圖以示其形，一注以明其數；趙、劉二家，並為句股立證焉。

泰西之源

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耶魯巴比倫之藏七二八九號泥板，正反二面

兩河之地，古巴比倫之世，已知此理。普林頓三二二號泥板（Plimpton 322），屬古巴比倫之期，約當紀元前十九至十七世紀，或出拉爾薩（Larsa）；一九二二年或其翌年，為普林頓所得，一九三六年歸於哥倫比亞大學，一九四五年始刊其文[一二]。所列者，三整數為一組，二數自乘相并，適等於第三數之自乘，今謂之勾股數[一二]。耶魯七二八九號泥板（YBC 7289），亦古巴比倫之物；面畫一方，并其對角之線，沿線書二之開方之近值，旁書其邊長，及邊長乘二之開方之積[一三]。一表以數言，一圖以形示。是巴比倫書吏，既知其理，又能約求開方之數也[一三]。

其名歸於古希臘畢達哥拉斯，則出後世之傳。普羅克洛（Proclus）注歐幾里得此題，謂好述古史者，以此理歸諸畢達哥拉斯，且言其得之而殺牛以祭[一四]。他書所記，亦本於阿波羅多洛斯（Apollodorus）詩二句，其詩之年不可確考[一四]。史丹福哲學百科論之，以為畢氏或重數之相關，而未必親證其理；早期之文獻，亦無畢氏治幾何之記[一四]。畢氏之名，後世所加；畢氏之證，古籍無徵。是非之決，猶俟來者。

歐幾里得《幾何原本》卷一第四十七題，著此理而證之[一五]；第四十八題，證其逆，謂三邊之冪合此者，其角必直[六]。卷二第十二、十三題，易直角為鈍角、銳角，即餘弦定理之幾何形[四]；卷六第三十一題，推方形為凡相似之形[六]。直角之理，一題而立；鈍銳之變，二題而通。一題之理，三卷申之焉。

明萬曆中，利瑪竇口傳，徐光啟筆受，譯其前六卷，刻於萬曆三十五年[一六][一七]。其譯第四十七題曰「凡三邊直角形，對直角邊上所作直角方形，與餘两邊上所作两直角方形并等」[一八]。又附增題，設甲乙六、甲丙八，二冪相并得百，開方得十，以明以兩邊求第三邊之術[一八]。其圖以十干為識，干盡用十二支[一九]；故下引證文，皆以甲乙丙丁名其點也。

證法

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趙爽句股圓方圖證法示意，今人所繪

勾股之證，歷代屢出。盧米斯（Elisha Scott Loomis）輯其證為書，一九四〇年再版，一九六八年全國數學教師協會重刊之，凡錄三百七十證；分其類，曰代數者百有九，曰幾何者二百五十五，曰四元數者四，曰動力者二[二〇]。或割補其形，或權衡其積；或因數以立式，或依形以見理。今舉其要者四焉。

趙爽之證，以弦為邊，作一大方；四朱實環列其外，皆句股相乘之半；中黄實一居其心，其邊為句股之差[三]。四朱相并，句股相乘之倍也；中黄之實，句股之差自乘也。二者相加，即成弦實，其式曰：

式中為句，為股，為弦。

二〇〇二年，國際數學家大會會於北京，取三世紀趙爽所繪之圖，損益之以為會徽[二一]。昔為注經之圖，今為大會之徽。千載之舊製，復見於當世焉。

劉徽青朱出入圖，今人所繪

劉徽之證，不立算數，但移其形。句方為朱，股方為青；割其出者，以補其入，各從其類，餘者不動，合成弦方[二]。開方除之，弦長自得。趙氏合四朱一黄，劉氏移青朱二方；二家之證，殊途而同歸。

歐幾里得證法之圖

歐幾里得之證，見於《原本》。徐光啟譯其論曰「試從甲作甲癸直線與乙戊丙丁平行，分乙丙邊于子，次自甲至丁至戊各作直線，末自乙至辛自丙至己各作直線」[一八]。其下以甲乙戊、丙乙己二角形，兩邊及其夾角皆等，定其相等；又以方形倍大於同底、同在平行線內之角形，推甲乙己庚方形與乙戊癸子直角形等，甲丙辛壬方形與丙丁癸子直角形等[一八]。角形相等，其積可移；方矩相當，其和乃合。兩直角形相并，即乙丙上之大方，故大方與兩小方并等。每步皆繫前題為據，譯本於句下一一注之。

歐幾里得證法之輔圖

近世別有新證。一八七六年，美國國會議員加菲爾德（James A. Garfield）刊一證於《新英格蘭教育報》，作一梯形，以句、股為其二底，以句股之和為其高；一以梯形求其積，一以內含三直角形求其積，兩積相等而理自見[二二]。一八八一年，加菲爾德為美國第二十任總統[二三]。議政之餘，偶出一證；梯形之積，竟通古理。疇人之外，亦有能證之者也。

非歐之幾何

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勾股之理，與平行公理相表裏。歐氏之證，作甲癸線與方邊平行，資於平行之理[一八][六]。多布斯（David E. Dobbs）論之，凡不設平行公理之中性幾何，苟有一直角三角形，其三邊合於勾股，則其幾何即歐氏之幾何，而平行公理隨之以立[二四]。由此言之，勾股之與平行公理，於中性幾何之中，互為等價。故勾股之證，雖有三百有奇，皆立於歐氏幾何之上也。

平行之公理既易，勾股之式隨變。半徑為一之球面，與曲率為負一之雙曲平面，其直角三角形，各有其勾股之式，皆由其餘弦定理，令一角為直而得之[一]。球面之上，句股二邊各取其餘弦，相乘適等於弦之餘弦，其式曰：

式中、為二直角邊之長，為弦長，為餘弦。

雙曲平面之上，則易以雙曲餘弦，其式曰：

式中諸符，並同前式；為雙曲餘弦。

三角形愈小，二式愈近於平面之勾股；然其代數之形，與三平方之式迥殊[一]。日本學者二人，因別求其三平方之形以通之[一]。正曲之球，負曲之面；形殊而理通，式異而源同。勾股之理，遂通於三種幾何矣。

疑義

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《周髀》託周公、商高之問答，然喬伊斯以為其書纂於漢世；弦圖或非原書所有，乃趙爽於三世紀所增[六]。託古之言，未可盡信；成書之年，未可遽定。諸說並存，以俟考焉。

趙爽之世，記載亦異。四部叢刊本《周髀》卷首，題曰漢趙爽注[八]；國際數學聯盟所錄之辭，但稱三世紀之疇人[二一]。叢刊題其朝代，聯盟但言其世；二說相去不遠，而確年終未可詳也。

普林頓泥板何為而作，學者聚訟。或以為書吏習算之具，或以為探究之作；其展錄之時，猶未有定論[一二]。羅布森（Eleanor Robson）重考其表，以為通行之三角表之說，與古巴比倫時人論角之法不合，必不能立[二五]。是非之決，猶俟來者。

據

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  1. 1 2 3 4 K. Ichihara、A. Ushijima - Theorem of three squares across three geometries arXiv - 訪於二〇二六年十月四日。此乃預印之本，未見刊本。
  2. 1 2 3 4 《九章算術》卷九，句股，劉徽注，四部叢刊本。叢刊本經機器辨識，「曰」或訛作「日」，今據文義讀之。
  3. 1 2 3 4 5 6 《周髀算經》卷上之一，趙爽〈句股圓方圖〉注，四庫全書本。
  4. 1 2 D. E. Joyce - Euclid's Elements, Book II, Proposition 12 Clark University - 訪於二〇二六年十月四日。
  5. ↑ Ptolemy's Theorem Wolfram MathWorld - 訪於二〇二六年十月四日。
  6. 1 2 3 4 5 6 D. E. Joyce - Euclid's Elements, Book I, Proposition 47 Clark University - 訪於二〇二六年十月四日。
  7. ↑ 《周髀算經》卷上之一。
  8. 1 2 《周髀算經》卷上，四部叢刊本，景南陵徐氏積學齋藏明刊本。卷首題「漢趙爽注，北周甄鸞重述」。
  9. 1 2 《周髀算經》卷上之二。
  10. 1 2 3 《九章算術》卷九，句股。
  11. ↑ 《隋書》卷十六，志第十一，律曆上。
  12. 1 2 3 Table of whole-number sides of Pythagorean triangles Institute for the Study of the Ancient World, New York University - 訪於二〇二六年十月四日。
  13. 1 2 Tablet illustrating Pythagoras' Theorem and the square root of 2 Institute for the Study of the Ancient World, New York University - 訪於二〇二六年十月四日。
  14. 1 2 3 Pythagoras Stanford Encyclopedia of Philosophy - 訪於二〇二六年十月四日。此乃其書述普羅克洛之說，非親覽普氏原書之辭；所標之處為四百二十六之六。原辭：referring this theorem back to Pythagoras
  15. ↑ T. L. Heath 譯 - Euclid, Elements, Book I, Proposition 47 Perseus Digital Library - 訪於二〇二六年十月四日。
  16. ↑ 《幾何原本》原序，利瑪竇撰，署萬曆丁未。
  17. ↑ 《幾何原本》原跋，徐光啟撰。
  18. 1 2 3 4 5 歐幾里得著，利瑪竇口譯，徐光啟筆受《幾何原本》卷一，第四十七、四十八題。
  19. ↑ 《幾何原本》卷一，第一界之注。
  20. ↑ Loomis氏（名E. S.）《The Pythagorean Proposition》。National Council of Teachers of Mathematics以一九六八年刊諸Washington，ISBN 0-87353-036-5。；其類目之數，據The Pythagorean Proposition, Classics in Mathematics Education Series ERIC - 訪於二〇二六年十月四日。
  21. 1 2 ICM 2002 - Opening Ceremony International Mathematical Union - 訪於二〇二六年十月四日。
  22. ↑ Mathematical Treasure: James A. Garfield's Proof of the Pythagorean Theorem Mathematical Association of America - 存於二〇二三年十二月八日自原本。 - 訪於二〇二六年十月四日。此據其文所述，《新英格蘭教育報》原刊未親覽。
  23. ↑ James Garfield The White House - 訪於二〇二六年十月四日。
  24. ↑ Dobbs, D. E. A single instance of the Pythagorean theorem implies the parallel postulate. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 2002, 33: 596–600. doi:10.1080/002073902320300865.此據其摘要所述。
  25. ↑ Robson, E. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322. Historia Mathematica. 2001, 28: 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317.此據其摘要所述。


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