歐氏幾何
歐氏幾何，歐幾里得始創也。初述於《幾何原本》。獨尊泰西二千年，時幾何必歐氏耳，及傳中華，徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪；迨十九世紀，高斯、羅巴切夫斯基、波約三人破之，立新幾何，故其亦曰經典幾何。二十世紀初，相對論立，其以非歐幾何為本，歐氏幾何獨尊物理不再耳！
公理
[纂]歐氏幾何，公理系統之始。夫公理者，基礎也，不可證而不證自明者也。
徐、利二人初譯《幾何原本》，有「求作四、公論十九」；後有以「公設」曰「求作」、「公理」曰「公論」者；今則不加細分，概曰「公理」即可。
原譯「求作」者：
一、此點至彼點可作一線段。
二、線段可從彼界直行引長之。
三、線段作半徑，點為心，可作一圓。
四、直角皆等。
五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者，則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。
原譯「公論」者，皆易也，在此不述。
平行公理及非歐幾何
[纂]首四公理，極簡明，然公理五（亦稱平行公理），冗長甚耳，不易見其明也。有泰西疇人指其不足為公理也，然嘗以首四公理證平行公理，皆不可得。
十九世紀，高斯等人以新公理代平行公理，得新幾何，今曰非歐幾何。然十七世紀初，德薩格創射影幾何，謂平行線相交于無限遠，今亦歸非歐幾何之屬也。
有疇人棄公理五，得絕對幾何。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。
希爾伯特公理
[纂]以當世數學觀之，《幾何原本》殊不嚴謹。希爾伯特遂於一八九九年作二十公理，以完歐氏幾何耳。