三角函數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

三角函數，勾股弦與角之繫也。

定義

直角三角形

直角三角形，取一銳角，簡曰角。為便捷計，不論長短，角之對邊曰勾，角之旁曰股。

角之正弦者，弦（ $r$ ）除勾（ $y$ ）也（記曰 $\sin \alpha ={\frac {y}{r}}$ ）；

餘弦者，弦除股（ $x$ ）也（記曰 $\cos \alpha ={\frac {x}{r}}$ ）；

正切者，股除勾也（記曰 $\tan \alpha ={\frac {y}{x}}$ ）；

餘切者，勾除股也（記曰 $\cot \alpha ={\frac {x}{y}}$ ）；

正割者，股除弦也（記曰 $\sec \alpha ={\frac {r}{x}}$ ）；

餘割者，勾除弦也（記曰 $\csc \alpha ={\frac {r}{y}}$ ）。

圓

迨坐標幾何生，其義遂新。以零點為心，徑一作一圓。定其始邊，凡一角，應圓上一點，使徑為弦，縱座標勾，橫為股。因有：

首象限，即自東（零度）始，迄北（九十度），正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正；

次象限，即自北（九十度）始，迄西（百八十度），正弦、餘割為正，餘弦、正割、正切、餘切皆負；

三象限，即自西（百八十度）始，迄南（二百七十度），正弦、餘弦、正割、餘割皆負，正切、餘切為正；

四象限，即自南（二百七十度）始，迄東（三百六十度，即零度），正弦、餘割、正切、餘切皆負，餘弦、正割為正。

級數

以弧度觀之，奇數乘方除以階乘（ ${\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ ），再以正負之法合之，得正弦級數（ $\sin \alpha =\alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{3!}}+{\frac {\alpha ^{5}}{5!}}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ ）。

偶乘方除以階乘（ ${\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}$ ），同法合之，得餘弦（ $\cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2!}}+{\frac {\alpha ^{4}}{4!}}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}$ ）。

若依此法，以弧長入，出之長，則三角函數可入複數、矩陣、算子，不必拘於角耳。

指數

歐拉究級數，得歐拉等式，知三角函數可以指數示之。取一角，乘負一開方，歐拉數之其乘方，得一數（ $e^{i\alpha }$ ）；減倒數，半之，除以負一開方，得正弦（ $\sin \alpha \,=\,{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha } \over 2i}$ ）；加倒數，半之，得餘弦（ $\cos \alpha \,=\,{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha } \over 2}$ ）。