註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
複數者,虛實相合之數也。夫實數者,咸能示於數線上。若夫虛數,方之為負者耳。蓋泰西之人,究之甚詳,言之曰「
」,
、
者,實數也;
者,虛數單位也,意負一開方(
)。聚以成集,記曰「複數域」(
)。
算[纂]
問曰:三實四虛(記曰「
」)者,何物耶?
答曰:立一平面,横實縱虛,曰複平面。上有一點(「z」),横三縱四,即數三實四虛也。以極坐標視之,徑五,角千分之九百二十七弧,謂模五,幅角千分之九百二十七(記曰「
」)。模,亦曰絕對值(記曰「
」)。
又曰:虛負之同乎角負之,曰軛(記曰「
」)。
欲求模:先合虛實之方,復開方之(記曰「
」)(勾股定理,取
至原心
之距)。
求幅角:虛除實,求正切之逆(記曰「
」)。
複數之四則,算之有法。
欲求和、差:實加、減實為實,虛並、去虛為虛(記曰「
」)。
欲求積:實乘實,減虛乘虛,餘為實,虛實互乘,和為虛(記曰「
」)。或模相乘為模,角相加為角(記曰「
」)。
是以乘負一開方,同乎逆時轉一直角耳!
數軛相乘,為模之方耳(記曰「
」)。故倒數為模之方除軛(記曰「
」)。
欲求商:模相除為模,角相減為角(記曰「
」)。有模軛求商法,被除者乘除者之倒數也(記曰「
[一])」。
史[纂]
虛數之事,蓋自三次方程之解始。三次方程,當何以解?自古以來,殆無善法。迨大賢卡爾達諾出,方知其解,然中有一弊,莫之能明。即其解本當為實,然以之算,卻得負數開方[二],然負數豈有方根耶?
此事犖繞疇人良久,然雖惑而無有違者。已而百年,大賢笛卡兒方有異議,其病之曰:「負數之根,有若虛幻,非實數耳。」遂有虛數,實數之名。
自是以降,疇人名士輩出,有名高斯者,立複平面之說,虛實互垂,由是無復惑耳。
性[纂]
複數之集,乃域之屬矣。
複數域,乃實數域加元方為負一(「
」)之偽解,故為實數域之代數引伸。有代數基本定理云:「複多項式,必有複數解。」,故複數域者,實數域之代數閉包也。
複數者,可以代數數之柯西序列定義之。故複數域乃代數數域之拓撲閉包也。
注[纂]
- ↑ 即
- ↑ 方程
求解,得
,而此實為四矣。