複數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
複平面

複數者,虛實相合之數也。夫實數者,咸能示於數線上。若夫虛數,方之為負者耳。蓋泰西之人,究之甚詳,言之曰「a+bi」,ab者,實數也;i者,虛數也,意負一開方。聚以成集,記曰\mathbb{C}

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問曰:三實四虛(記曰「3+4i」)者,何物耶?

答曰:立一平面,横實縱虛,曰複平面。上有一點(「z」),横三縱四,即數三實四虛也。以極坐標視之,徑五,角千分之九百二十七,謂模五,幅角千分之九百二十七(記曰「5e^{i0.927}」)。模,亦曰絕對值(記曰「|z|」)。

又曰:虛負之同乎角負之,曰軛(記曰「\bar{z}=a-bi=re^{i(-\theta)}」)。

欲求模:先合虛實之方,復開方之(記曰「|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}」)。

求幅角:虛除實,求正切之逆(記曰「\theta=\tan^{-1}(b/a)」)。

複數之四則,算之有法。

欲求和:實加實為實,虛並虛為虛(記曰「a+b i + c+d i = (a+c)+(b+d)i」)。

欲求差:實減實為實,虛減虛為虛(記曰「a+b i - (c+d i) = (a-c)+(b-d)i」)。

欲求積:實乘實,減虛乘虛,餘為實,虛實互乘,和為虛(記曰「(a+b i)( c+d i) = (ac-bd)+(ad+bc)i」)。或模相乘為模,角相加為角(記曰「(r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2})=(r_1r_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)}」)。

是以乘負一開方,同乎逆時轉一直角耳!

數軛相乘,為模之方耳(記曰「z\bar{z}=|z|^2」)。故倒數為模之方除軛(記曰「z^{-1}=\bar{z}/|z|^2」)。

欲求商:模相除為模,角相減為角(記曰「(r_1e^{i\theta_1})/(r_2e^{i\theta_2})=(r_1/r_2)e^{i(\theta_1-\theta_2)}」)。有模軛求商法,被除者乘除者之倒數也(記曰「z_1/z_2=z_1z_2^{-1}=(z_1\bar{z_2})/(|z_2|^2)[一])」。

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虛數之事,蓋自三次方程之解始。三次方程,當何以解?自古以來,殆無善法。迨大賢卡爾達諾出,方知其解,然中有一弊,莫之能明。即其解本當為實,然以之算,卻得負數開方[二],然負數豈有方根耶?

此事犖繞疇人良久,然雖惑而無有違者。已而百年,大賢笛卡兒方有異議,其病之曰:「負數之根,有若虛幻,非實數耳。」遂有虛數,實數之名。

自是以降,疇人名士輩出,有名高斯者,立複平面之說,虛實互垂,由是無復惑耳。

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複數之集,乃之屬矣。

複數域,乃實數域加元方為負一(「x2=-1」)之偽解,故為實數域之代數引伸。有代數基本定理云:「複多項式,必有複數解。」,故複數域者,實數域之代數閉包也。

複數者,可以代數數柯西序列定義之。故複數域乃代數數域之拓撲閉包也。

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  1. \frac{a+bi}{c+di} = \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}\right)i
  2. 方程x^3-15x-4=0求解,得\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}},而此實為四矣。


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