複數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

複平面

複數者，虛實相合之數也。夫實數者，咸能示於數線上。若夫虛數，方之為負者耳。蓋泰西之人，究之甚詳，言之曰「$a+bi$」，$a$、$b$者，實數也；$i$者，虛數單位也，意負一開方（${\sqrt {-1}}$）。聚以成集，記曰「複數域」（$\mathbb {C}$）。

算

問曰：三實四虛（記曰「$3+4i$」）者，何物耶？

答曰：立一平面，横實縱虛，曰複平面。上有一點（「z」），横三縱四，即數三實四虛也。以極坐標視之，徑五，角千分之九百二十七弧，謂模五，幅角千分之九百二十七（記曰「$5e^{i0.927}$」）。模，亦曰絕對值（記曰「$|z|$」）。

又曰：虛負之同乎角負之，曰軛（記曰「${\bar {z}}=a-bi=re^{i(-\theta )}$」）。

欲求模：先合虛實之方，復開方之（記曰「$|z|=r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$」）（勾股定理，取$z$至原心$(0,0)$之距）。

求幅角：虛除實，求正切之逆（記曰「$\theta =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$」）。

複數之四則，算之有法。

欲求和、差：實加、減實為實，虛並、去虛為虛（記曰「$(a\pm bi)+(c\pm di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$」）。

欲求積：實乘實，減虛乘虛，餘為實，虛實互乘，和為虛（記曰「$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$」）。或模相乘為模，角相加為角（記曰「$(r_{1}e^{i\theta _{1}})(r_{2}e^{i\theta _{2}})=(r_{1}r_{2})e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$」）。

是以乘負一開方，同乎逆時轉一直角耳！

數軛相乘，為模之方耳（記曰「$z{\bar {z}}=|z|^{2}$」）。故倒數為模之方除軛（記曰「$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$」）。

欲求商：模相除為模，角相減為角（記曰「${\frac {r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}}=({\frac {r_{1}}{r_{2}}})e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}$」）。有模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「${\frac {z_{1}}{z_{2}}}=z_{1}z_{2}^{-1}={\frac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{|z_{2}|^{2}}}$）」。

史

虛數之事，蓋自三次方程之解始。三次方程，當何以解？自古以來，殆無善法。迨大賢卡爾達諾出，方知其解，然中有一弊，莫之能明。即其解本當為實，然以之算，卻得負數開方，然負數豈有方根耶？

此事犖繞疇人良久，然雖惑而無有違者。已而百年，大賢笛卡兒方有異議，其病之曰：「負數之根，有若虛幻，非實數耳。」遂有虛數，實數之名。

自是以降，疇人名士輩出，有名高斯者，立複平面之說，虛實互垂，由是無復惑耳。

性

複數之集，乃域之屬矣。

複數域，乃實數域加元方為負一（「$x^{2}=-1$」）之偽解，故為實數域之代數引伸。有代數基本定理云：「複多項式，必有複數解。」，故複數域者，實數域之代數閉包也。

複數者，可以代數數之柯西序列定義之。故複數域乃代數數域之拓撲閉包也。