複數

文出維基大典
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
複平面

複數者,虛實相合之數也。夫實數者,數軸以示,次序自明。若夫虛數,負數方根耳。虛實相合,記曰「」,此複數也(其中曰「實部」,曰「虛部」,皆實數也;者虛元也)。聚以成集,記曰「複數域」()。

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問曰:三實四虛(記曰「」)者何?

答曰:立一平面,横實縱虛,曰複平面。上有一點(「z」),横三縱四,即數三實四虛也。以極坐標視之,徑五,角千分之九百二十七,謂模五,幅角千分之九百二十七(記曰「」)。模,亦曰絕對值(記曰「」)。

又曰:虛負之同乎角負之,曰軛(記曰「」)。

欲求模:先合虛實之方,復開方之(記曰「」)(勾股定理,取至原心之距)。

求幅角:虛除實,求正切之逆(記曰「」)。

複數之四則,算之有法。

欲求和、差:虛實二部,各相加減,得數自明(記曰「」)。

欲求積:實乘實,減虛乘虛,餘為實,虛實互乘,和為虛(記曰「」)。或模相乘為模,角相加為角(記曰「」)。

是以乘負一開方,同乎逆時轉一直角耳!

數軛相乘,為模之方耳(記曰「」)。故倒數為模之方除軛(記曰「」)。

欲求商:模相除為模,角相減為角(記曰「」)。有模軛求商法,被除者乘除者之倒數也(記曰「[一])」。

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虛數之事,蓋自三次方程之解始。三次方程,當何以解?自古以來,殆無善法。疇人卡爾達諾知其解,然中有一弊,莫之能明。即其解本當為實,然以之算,卻得負數開方[二],然負數豈有方根耶?

此事犖繞疇人良久,然雖惑而無有違者。已而百年,笛卡兒方有異議,其病之曰:「負數之根,有若虛幻,非實數耳。」遂有虛數實數之名。高斯複平面之說,謂虛實二軸相垂得複平面,以其上任一點示一複數,一一相應,無所缺漏。由是無復惑耳。

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複數之集,乃之屬矣。

複數域,乃實數域加元方為負一(「」)之偽解,故為實數域之代數引伸。有代數基本定理云:「複多項式,必有複數解。」,故複數域者,實數域之代數閉包也。

複數者,可以代數數柯西序列定義之。故複數域乃代數數域之拓撲閉包也。

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  1. 方程求解,得,而此實為四矣。


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