自然數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

自然數者,為一,二,三,四等,泰西人以為不言而喻,蓋「自然」之數也。或曰整數,或曰非負整數,觀乎零為自然數否。若夫零者,自然數耶?非自然數耶?無定案也。今中華人民共和國教育部以零為自然數也。聚之成集,記曰\mathbb{N}

自然數有四用:一乃數量,曰基數;二乃次序,曰序數;三乃歸納法;四乃實數。此四用之引申,殆盡一切數學,故公理集論亦以自然數起,見無窮公理。自然數之學,曰數論

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自然數者,物之數量也。

有數若干,取物若干。若有二數,則共取二數之和也。從大數取走小數,則得二數之差耳。

有數甲乙,甲個乙相加,曰甲乙之積。以乙減甲,減之又減,至不能減,所減次數,曰商[一]

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既為不說自明之數,何以定義耶?誠非易事也。今多宗疇人皮亞諾(Peano)及溤諾曼(John von Neumann)之定義。

皮亞諾公理[]

皮亞諾曰,凡合五公理之集,可作自然數集觀:

  • 公理一,有物曰「本」;
  • 公理二,凡物必有「後」;
  • 公理三,非「本」者,必承他物;
  • 公理四,物異,則其後亦異;
  • 公理五,此乃歸納法也:有子集合公理一,公理二者,實本集是也。

如是,則以「本」為零,零生一,一生二,二生三,三生萬物。[二]

溤諾曼定義[]

溤諾曼曰:「皮亞諾公理善,然則何者為「本」,何者為「後」也?」

遂以空集為「本」,以含己之集與己並(記曰「\left\{a\right\}\cup a」)為「後」。如是,則零為無物之集(0=\left\{\right\}),一為合零之集(記曰「1=\left\{0\right\}」),二為合「零、一」之集(記曰「2=\left\{0,1\right\}」),三為含「零、一、二」之集(記曰「3=\left\{0,1,2\right\}」),類推可也。

有問:「不若以二物之集為二,三物之集為三,何以如此費周章?」

答曰:「不知三,則何謂三物之集耶?此乃遁環論證也。吾之法則無此弊然。從此,凡與吾定義之三有一一對應者,可稱為三物之集也。」

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物加一者,物後也。

甲(a)加零為己(記曰「a+0=a」),甲加乙(b)後同乎甲乙和之後(記曰「a+(b+1)=(a+b)+1」),合此二者,加法是也。甲乘零為零(記曰「a0=0」),甲乘乙後同乎甲乙之積加甲(記曰「a(b+1)=(ab)+a」),合此二者,乘法是也。

若有數加乙等於甲,則謂之甲減乙(記曰「a-b」)。若有數乘乙等於甲,則謂之乙除甲(記曰「a/b」)。

此四者,當世數學之四則定義也。

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殆無一文明不知有數,有南美亞瑪遜Pirahã人,不知有三四,世所罕見。上古之人曰數,正整數也。古希臘人不以分數為數,只知二數之比。數系擴張,負數、無理數生,歐洲人惡之,曰:「非自然數也。」

零者,無也。古瑪雅人,印度人,中國人,最先用零者也。然印度、中國可有交流?未有定案也。零入歐洲,學者甚惡之,然商人喜其便利。

大食疇人Al-Karaji創歸納法,為證明之妙法。然此法當其可行?苦思良久,皮亞諾曰:「此自然數之性也,宜以公理視之。」遂有皮亞諾公理。

康托爾立集論,創基數,然不甚嚴謹。溤諾曼曰:「若以零為自然數,則可嚴謹定義基數也。」故有溤諾曼定義,亦開零乃自然數之爭。

今疇人各取所需。計算機學,因記憶體始於零,故喜以零為自然數;數論者,零多不便,故喜以一為自然數之始。

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  1. 若以分數觀之,乙除甲之商,乙分之甲也。
  2. 皮亞諾以「本」為一。


數系
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