基數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

基數者,之大小也。

定義[]

甲(「A」)之基數(記曰「|A|」)者,其元素之多寡也。基數者,自然數之推廣也,蓋元素可以無窮多耳。

以集論言之,凡與甲有一一對應者,聚以集成,則甲之基數也。故若甲乙有一一對應,則二者基數同矣(記曰「|A|=|B|」)。

疇人溤諾曼以自然數為集,如三為「零,一,二」之集也。基數為三者,意謂基數與三同耳,則其元素亦有三。

若甲有單射乙者,則曰甲之基數不多於乙也(記曰「|A|≤|B|」)。

蓋亦可以「最小序數」目之,詳見序數一文。

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甲乙二集,其交為空(「A ∩ B=φ」),則之基數為基數之和也(「|A ∪ B|=|A| + |B|」)。

甲乙二集,直積之基數為基數之積也(「|A x B|=|A| x |B|」)。

須知基數未有減除也。

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一︰「甲,乙,丙,丁」之集,基數為四。

二︰空集者,無物之集也,基數為零。

三︰倍者,整數一一對應偶數也,故整數集之基數同乎偶數集。然若集之基數同乎其真子集,即無窮集合之象也。

四︰自然數之基數小於實數也。