整數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

整數自然數及其負也。聚以成,記曰\mathbb{Z}

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整數有三:正整數,零,負整數也。正整數者,自然數也;負整數者,自然數之負也(泰西記曰「−n」,而n為自然數也。)

負二,尚欠二也,此為負數之本義也。然以買為正,賣為負;上為正,下為負;亦無不可。故劉徽曰:「两算得失相反,要令正負以名之。」

劉徽亦曰:「欲算和差,當以正負術。」。

求和者,異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。

(若「mn」,有「 m + −n = m-n ,−m + n = −(m-n)」;若「mn」,有「 m + −n = −(n-m) [一],−m + n = n-m」。「m + n = m+n ,−m + −n = −(m+n)」。「0+m = m」。「0 + −m = −m」。)

求差者,同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。

(若「mn」,有「 m-n = m-n ,−m - −n = −(m-n)」;若「mn」,有「 m - n = -(n-m) ,−m - −n = - −(n-m) = n-m」。「m - −n = m+n ,−m - n = −(m+n)」。「0-m = −m」。「0 - −m = m」。)

求積法:同名正之,異名負之。

(「m×n = mn ,−m×−n = mn」。「m×−n =−mn ,−m ×n = −mn」。)

去其名,曰絕對值。(「|m| = |−m| = m」。)

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當世數學,空集生自然數,然後整數、分數、實數、複數。然自然數何生整數?

取自然數甲乙(記曰「(a,b)」),定義一集,曰甲去乙(記曰「a-b」)。凡自然數丙丁(記曰「(c,d)」),甲丁之和同乎乙丙者,則收其中(記曰「a-b={(c,d) : a+d=b+c}」)。

於是,零去二同乎二去四三去五,曰負二。三去零同乎七去四五去二,曰三。噫,以此觀之,則自然數三與整數三誠異哉。

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整數之集,乃之屬矣。

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  • 《九章算術》

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  1. 本意實為「 m + −n = 0 + −(n-m) 」,再以負無入負之,得「−(n-m) 」。例:『被加數二,加數負三』,異名相除,得『被加數無,加數負一』,負無入負之,得『負一』。


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