非標準實數

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尚有同名數系,可見超實數
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

超實數,用於非標準分析,故亦曰非標準實數,乃魯賓遜所創也。

初,牛頓萊布尼茨微積分,論極限,謂兩數相差,小之又小,以至無窮小,則如何如何。然無窮小之物,似零非零,疇人病之,謂不合理則也。已而百年,微積分盡可定義於實數,而無窮小殆不復見。然以無窮小言極限,頗合直觀,故仍偶見於入門課本。一九六零年,魯賓遜另闢蹊徑,立新數系,取名超實數,為實數之引伸,且有無窮小及無窮大。以此數系算微積分,世稱非標準分析。

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數可四分︰曰實數、曰無窮大、曰無窮小、曰實數加無窮小。

無窮大與無窮大之積,無窮大也。正無窮大與正無窮大之和,正無窮大也。負無窮大與負無窮大之和,負無窮大也。正無窮大與負無窮大之和,未可知也。

無窮小與無窮小之積,無窮小也。正無窮小與正無窮小之和,正無窮小也。負無窮小與負無窮小之和,負無窮小也。正無窮小與負無窮小之和,零或無窮小也。

無窮大與無窮小之和,無窮大也。無窮大與無窮小之積,未可知也。

無窮大與實數之和,無窮大也。無窮大與非零實數之積,無窮大也。無窮大與零之積,零也。

無窮小與非零實數之積,無窮小也。無窮小與零之積,零也。

無窮大之倒數,無窮小也。

問曰:若甲趨向三,則其方之極限若干?

答曰:甲趨向三,則甲乃三加無窮小也。因甲之方為九加無窮小,可知極限為九。

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凡實數,可得一恆序列(「(\forall n) a_n=a」)。

嘗有實數序列之集,含所有恆序列,兼有如斯特性:凡有序列甲乙,必有一項,其後甲必大於乙,或甲必小於乙也[一] 。此等集合之極大者,超實數集是也。

自然數之倒數序列(「\{1/n\}_{n=1,2,\ldots}」),無窮小也。偶數之倒數序列(「\{1/{2n}\}_{n=1,2,\ldots}」),亦無窮小也。

自然數之序列(「\{n\}_{n=1,2,\ldots}」),無窮大也。偶數之序列(「\{2n\}_{n=1,2,\ldots}」),亦無窮大也。

四則運算,逐項算之(「{an}*{bn}={an*bn}」,* 可為加減乘除也)。

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  1. 存在 k,凡 n≥k an ≥ bn, 或凡 n≥k an ≤ bn