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餘弦定理

文出維基大典
三角形自一頂引高至對邊，分其底為二段，並標其一角

餘弦定理（英語Law of cosines，亦稱 cosine rule、cosine formula；法語稱 théorème d'Al-Kashi）者，三角學定理也。勾股定理乃其特。其理以三角形三邊之長，繫於一角之餘弦，凡三角形皆通之[一]。勾股但言直角，此則兼賅銳鈍；昔賢分題而證，今人合式而書。二邊夾角既知，餘邊可推；三邊長短既得，諸角可定。古希臘歐幾里得嘗以面積之辭述其理；十五世紀，波斯卡西明言此律，且示其用於三角測量，法人以其名稱之[二]。

義

[纂｜溯源]
三角皆銳之形，以割分之法證此定理

定理之文，散見諸書，而其要一也。凡三角形，任取一邊，其冪等於餘二邊冪之和，損二邊相乘之倍，又乘其所夾之角之餘弦[一]。其式曰：

式中、、為三角形三邊之長，為、二邊所夾之角，即邊所對者也；示其角之餘弦。

三邊互易，其理不變。以他邊為主者，書之如下：

式中為邊所對之角，即、二邊所夾者也；餘符並同前式[三]。

有一鈍角之形，以割分之法證此定理

所減之項，視其角而異。角直則餘弦為零，角鈍則餘弦為負[一][三]；零則其式歸於勾股，負則所損轉而為增。故直角所對之邊，其冪適等於二邊冪之和，即舊篇所謂「其特」者；銳角所對之邊，其冪恆小於二邊冪之和；鈍角所對者，其冪恆大焉[四]。

其用在於解三角形。三邊既知，則以之求角；二邊夾一角既知，則以之求餘邊。測量之家，資以三角相推；推步之士，據以三邊求角[二][五]。蓋勾股之術，止施於直角之形；此律所及，則無論其角之銳鈍焉。

溯源

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下述泰西、波斯之事，紀以西曆；述華夏之事，紀以年號。

此理之見於典籍者，有古希臘歐幾里得《幾何原本》卷二。其卷所論，後人謂之幾何代數，以線段面積之辭，寓乘方相加之理[六]。第十二題論鈍角，第十三題論銳角；前題援本卷第四，後題援本卷第七，而皆以卷一第四十七題，即勾股之理，參而證之[四][七]。第十二題謂鈍角之形，對鈍角之邊，其上方形大於餘二邊上方形之和；所大者，乃鈍角旁一邊，與其引長至垂足之線，所成矩形之倍[八]。二題與卷一第四十七題相補，鈍角、銳角、直角之形，於是皆備[三]。後世論者，以二題為餘弦定理之幾何形；然二題於全書之中，未為他題所引[三]。

其後亞歷山大之海倫（Heron of Alexandria），各為二題立其逆。一邊之冪大於二邊冪之和，則二邊所夾之角必鈍；一邊之冪小於二邊冪之和，則二邊所夾之角必銳。其說見於奈里茲（an-Nairīzī）之書。海倫證其逆，別作一直角，令其旁邊與原形之邊等長，乃以卷一第二十五題，比二底之長短，而斷其角之大小[四]。至十七世紀，聖文森特之格列高利（Gregory of St Vincent）於一六四七年刊書，倣卷一第四十七題之法，於三邊各作方形，以其中矩形相較，別證此二題；其證附見二矩形相等，後當卷三第三十五題之特例[四]。或謂此證不能上溯於一八二八年之前，希思（Thomas L. Heath）據格列高利之書駁之[四]。或循舊題而推其逆，或易舊證而出新途；千載之間，其理遞有所發。

卡西《算術之鑰》寫本，題一六五六年五月三十一日

十五世紀，波斯卡尚人卡西（Jamshīd al-Kāshī）明言此律，且示其用於三角測量[二]。卡西精於算學天文，兼善製器，又通醫術，人或稱之醫師，後依帖木兒之孫兀魯伯，居撒馬爾罕，約一四二九年卒[九][一〇]。其推圓周之倍、一度之正弦，近二百年間，莫之能及[一一]。所著《算術之鑰》（Miftāḥ al-ḥisāb），成於一四二七年，題獻兀魯伯，以算術解天文、測量、財計諸題，乃其晚出之作，卷首自列所著諸書，後世沿用數百年[九][一〇]。其第四篇論量法，今人譯而注之，以寫本原葉與英譯對列，所據乃今存古抄；其書謂卡西之餘弦律，至今猶習於學舍[一一]。其說既顯，法人遂以卡西之名稱此定理[二]。

韋達像

法國韋達於一五七九年刊《數學表通覽》（Universalium Inspectionum ad Canonem Mathematicum），亦述此理。其辭設一三角形，自頂引高至底，謂一邊之冪，等於他二邊冪之和，減底與一段相乘之倍；其段者，自底之一端至垂足也。垂足或在底內，或在底外，皆以此辭該之[一二]。歐氏分鈍銳為二題，韋達合內外於一辭。其辭不言餘弦，奧克斯（Jeffrey A. Oaks）則以之為韋達所述之餘弦定理[一二]。

華夏

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華夏算家，自有量田測遠之學。趙宋秦九韶序其《數學九章》，題淳祐七年[一三]；書中田域一類，載三斜求積之術曰：「以小斜冪併大斜冪減中斜冪，餘半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，餘四約之為實，一為從隅，開平方得積。」[一四]其設問曰沙田三斜，小斜十三里，中斜十四里，大斜十五里，答曰田積三百一十五頃[一四]。四庫館臣以立天元一之法案之，相加者小大二冪，所減者中斜一冪；半其所餘，即「小分底與底相乘」之數，於此題得九十九里[一四]。其所求者田積而已，不及角度焉。

利瑪竇與徐光啟像，出基歇爾《中國圖說》，一六七〇年阿姆斯特丹法文本

明利瑪竇口譯、徐光啟筆受之《幾何原本》前六卷，以萬曆丁未刻成[一五]，即萬曆三十五年也。徐光啟序之，謂「《幾何原本》者，度數之宗，所以窮方圓平直之情，盡規矩準繩之用也」[一六]。利瑪竇序其書，謂西庠「幾何之屬幾百家，爲書無慮萬卷，皆以此書爲基」；又謂其師丁先生「旣爲之集解，又復推求續補，凡二卷，與元書都爲十五卷」[一五]。四庫提要亦稱其「卷一論三角形，卷二論線」[一七]。其卷二第十二題曰：「三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形，大于餘邊上两直角方形并之較，為鈍角旁任用一邊偕其引増線之與對角所下垂線相遇者矩内直角形二。」第十三題曰：「三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形，小于餘邊上两直角方形并之較，為鋭角旁任用一邊偕其對角所下垂線旁之近鋭角分線矩内直角形二。」[七]鈍角之形，對邊之冪大於二冪之并；銳角之形，對邊之冪小於二冪之并。其論第十二題，先以本篇第四題，明丙丁上方形與丙乙、乙丁上二方形及二矩形相等；次於兩端各加甲丁上方形；終以卷一第四十七題，易垂線所成二直角形之冪，而其證以成。第十三題之論亦然，以本篇第七題分線之理為始，加垂線上方形，復以卷一第四十七題易之[七]。譯本於第十三題附注，謂「題中止論鋭角形，不言直角、鈍角形，而直角、鈍角形中俱有两鋭角，即對鋭角邊上形亦同此論」；又謂「三鋭角形所作垂線任用一角，而直角形必用直角，鈍角形必用鈍角，此為異耳」[七]。此理遂有華文可讀。咸豐間，李善蘭與英人偉烈亞力續譯其後九卷；同治四年，曾國藩序其重刻之本，謂其書「不言法而言理」，又謂其「徹乎《九章》立法之原」[一八]。舊籍因事立名，新書即象求理；十五卷之完帙，復刻於金陵焉。

京都大學附屬圖書館藏《幾何原本》書影，題一八六五年

清人推步，所用之術，《清史稿·時憲志》述之，謂新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圓形；算平三角凡五術[五]。兩邊夾角，取正切以求二角；三邊求角，析分底以得餘弦。其第三術曰：「兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁兩邊相加為一率，相減餘為二率，所知角與半周相減，餘為外角，半之，取其正切為三率，求得四率，為半較角正切。」[五]其第五術曰：「三邊求角，以大邊為底，中、小二邊相併相減，兩數相乘，大邊除之，得數與大邊相加折半為分底大邊，相減餘折半為分底小邊。乃以中邊為一率，分底大邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對小邊角餘弦。」又釋其理曰：「此其理在勾股弦冪相求及兩方冪相較。」[五]其志又謂三邊相等者，「即平分半周三角皆六十度」，不待算而知[五]。五術之中，惟三邊求角一術言及餘弦；其所憑者勾股，所作者中垂線。《幾何原本》二題，亦以垂線與勾股為證。

球面

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球面三角形之圖

此律不止於平面，球面三角亦有其類。球面三角形之邊，以其所張於球心之角度之；其律書之如下[二]：

式中、、為球面三角形之三邊，為、二邊所夾之角；示正弦，示餘弦。

清人推步，亦究弧三角之術。《時憲志》謂弧三角形「三圓周相遇而成，其邊亦以度計」；又謂「九十度為足，少於九十度為小，過九十度為大」，其算凡七術[五]。第六術曰：「三邊求角，以所求角旁兩邊正弦相乘為一率，半徑自乘為二率，兩邊相減餘為較弧，取其正矢與對邊之正矢相減餘為三率，求得四率，為所求角正矢。」[五]其第三術兩邊夾一角求邊，則「以半徑為一率，所知角餘弦為二率，任以所知一邊正切為三率，求得四率，命為正切」，先分其邊，然後相推[五]。《御製曆象考成》又辨平弧之異曰：「一直線三角形可以三邊求角不可以三角求邊而弧三角形既可以三邊求角又可以三角求邊」，並謂斜弧三角形作垂弧分為兩正弧三角形，「與直線三角形作中垂線之理同」，知三邊求角者，用總較法[一九]。平面之形，知三角不能定其邊；球面之形，知三角亦可求其邊。平弧之別，於此可見。

疑義

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《幾何原本》第十三題，原文明言銳角之形，故後人有疑。希思考之，謂其題文雖限於三角皆銳之形，而希臘舊注已謂凡三角形皆有一銳角，其理當通於諸形；克拉維烏斯（Christopher Clavius）諸家注本，亦早見及此[四]。海倫之逆題，但言一邊之冪小於二邊冪之和，不言銳角之形，希思以為海倫若述此題，亦將刪其銳角之限[四]。希思又謂，取直角之形，自題文未言之銳角引垂線，則此題即歸於卷一第四十七題[四]。華譯本之注，亦謂直角、鈍角之形中，對銳角之邊同此論，其說相合[七]。題文與題意之出入，諸家所見略同。

歐氏二題，可否逕謂之餘弦定理，說者亦有分歧。喬伊斯（David E. Joyce）謂三角之學，晚出於《幾何原本》；鈍角之餘弦為負，而負數之見許，又遠在三角學既成之後；然二題仍可視為餘弦定理之幾何形[三]。不列顛百科則以歐氏為其幾何之基，而以卡西為明言其律者[二]。或重其理之先具，或重其辭之明立；名實之辨，諸說並存，以俟考焉。

據

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  1. 1 2 3 The Editors of Encyclopaedia Britannica - Cosine Encyclopædia Britannica - 訪於二〇二六年十月四日。
  2. 1 2 3 4 5 6 A. Pant - Law of cosines Encyclopædia Britannica - 訪於二〇二六年十月四日。
  3. 1 2 3 4 5 D. E. Joyce - Euclid's Elements, Book II, Proposition 12 Clark University - 訪於二〇二六年十月四日。
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 Heath氏（名T. L.）《The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol. 1》403–408。Cambridge University Press以一九〇八年刊諸Cambridge。
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 《清史稿》卷四十六，志二十一，時憲二，推步算術。
  6. ↑ D. E. Joyce - Euclid's Elements, Book II Clark University - 訪於二〇二六年十月四日。
  7. 1 2 3 4 5 《幾何原本》卷二，第十二題、第十三題。利瑪竇口譯，徐光啟筆受。
  8. ↑ 希思書，頁四〇三至四〇四。原辭：In obtuse-angled triangles the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the obtuse angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off outside by the perpendicular towards the obtuse angle.
  9. 1 2 G. Saliba - KĀŠI, ḠIĀṮ-AL-DIN Encyclopædia Iranica, Vol. XVI, Fasc. 1, pp. 64–67 - 訪於二〇二六年十月四日。
  10. 1 2 al-Kāshī Encyclopædia Britannica - 訪於二〇二六年十月四日。
  11. 1 2 Aydin氏（名N.）《Al-Kashi's Miftah al-Hisab, Volume II: Geometry》。Birkhäuser以二〇二〇年刊諸Cham，ISBN 978-3-030-61329-7。
  12. 1 2 Oaks, J. A. François Viète's revolution in algebra. Archive for History of Exact Sciences. 2018, 72: 245–302. doi:10.1007/s00407-018-0208-0.。原辭：AD potest AB & BD, minùs BD in CB bis。此乃奧克斯述韋達之說，非親覽原刊之辭。
  13. ↑ 《數學九章》，四庫全書本，卷首提要。
  14. 1 2 3 《數學九章》卷三上，田域類，三斜求積。
  15. 1 2 《幾何原本》，徐光啟〈原跋〉；又〈原序〉所錄利瑪竇之序，末題萬曆丁未。
  16. ↑ 《幾何原本》，〈原序〉所錄徐光啟之序。
  17. ↑ 《幾何原本》，四庫全書本，卷首提要。
  18. ↑ 《幾何原本》，曾國藩〈序〉。
  19. ↑ 《御製曆象考成》上編卷二，四庫全書本。


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