餘弦定理

餘弦定理者，三角學定理也。勾股定理乃其特。

義

視一三角，一邊長之冪等於餘二邊長之乘冪之和，復損所餘二界，乘之以二，復乘其夾角餘弦值之積。

數示茲列如下（先十天干，後十二地支，後六十四卦，有映者天干配地支也，如甲子、乙丑、丙寅、丁卯，遵此類推）：

題設：今有三角形，三邊各令為甲（邊a）、乙（邊b）、丙（邊c），所應三角為子（角A）、丑（角B）、寅（角C），據餘弦定理而有：

• 冪甲（邊a之冪）之求：冪乙（邊b之冪）加冪丙（邊c之冪），損乙（邊b）丙（邊c）之積乘倍，復以角子（角A）之餘弦乘之。西方示之以$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$。

依是理也，推而度得：

• 冪乙（邊b之冪）之求：冪甲（邊a之冪）加冪丙（邊c之冪），損甲（邊a）丙（邊c）之積乘，復以二倍角丑（角B）之餘弦乘之。西方示之以$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$。
• 冪丙（邊c之冪）之求：冪甲（邊a之冪）加冪乙（邊b之冪），損甲（邊a）乙（邊b）之積乘，復以二倍角寅（角C）之餘弦乘之。西方示之以$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$。

殊例

使其一角為直角者，是角餘弦之值乃零也（如$\cos 90^{\circ }=0$）則餘$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}$，即勾股也。

史

此定理自歐幾里得《幾何原本》即有之，其二邊之夾角或鈍角，或銳角，書中分此二命題而證之。

注

幾何術語

點｜ 頂點｜ 相切｜ 線｜ 直線｜ 曲線｜ 測地線｜ 切線｜ 圓錐曲線｜ 拋物線｜ 雙曲線｜ 螺線｜ 螺旋 ｜ 面｜ 平面｜ 曲面｜ 切面｜ 三角形｜ 四邊形｜ 多邊形｜ 圓｜ 弦｜ 橢圓｜ 體｜ 長方體｜ 立方體｜ 棱錐｜ 正多面體｜ 錐體｜ 柱體｜ 球｜ 橢球｜ 角｜ 邊｜ 高｜ 長｜ 距｜ 周界｜ 面積｜ 體積｜ 圓周率｜ 黃金分割｜ 相似｜ 全等｜ 平行｜ 垂直｜ 平行公理｜ 勾股定理｜ 歐氏幾何｜ 尺規作圖｜ 非歐幾何｜ 球面幾何｜ 雙曲幾何｜ 流形｜ 坐標幾何｜ 射影幾何｜ 仿射幾何