開集
外觀
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
開集者,拓撲之屬也。拓撲者,位相之本也。(詳見拓撲空間一文,本文聊論度量空間之開集而已。)
度量空間之開集者,開球之並也。開球者,無邊之球也,故開集為無邊之集。
定義
[纂]取一物(x)作心,取一正數(r)為半徑,凡與物相去小於半徑者,聚以成集,曰開球(「」)。開球之並,曰開集。
或曰:開集(A)者,取任一點,必有以此點為心之開球,含于本集之內(「」)
性
[纂]例
[纂]- 數線為度量空間,大于二而小于三之開區間(「(2,3)」),開集也。
- 數線為度量空間,小于二或大于三之者,聚以成集(「(-∞,2) ∪ (3,∞)」),開集也。
- 數線為度量空間,大于二而不大于三之半閉區間(「(2,3]」)非開集也。蓋以三為心之開球必不含于內。
- 不大于三之數為度量空間(「(-∞ 3]」),則大于二而不大于三之半閉區間,實以三為心,半徑為一之開球也。(「B(3,1)=(2,3][一]」)
- 平面為度量空間,不含邊界之多邊形內側,圓內側,橢圓內側,皆開集也。
注
[纂]- ↑ 大于三者,如三又二分之一,不在度量空間之內,故亦不在開球之內。