閉集

文出維基大典
往:
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

閉集者,開集補集也。開集者,位相之本也。(詳見拓撲空間一文,本文聊論度量空間之閉集而已。)

度量空間之閉集者,有邊之集也。

定義[]

閉集者,以其屬作收歛柯西數列,則極限必在其中。

或曰:閉集者,其極限點之聚也。

取一物(x)作心,取一正數(r)為半徑,凡與物相去不大于半徑者,聚以成集,曰閉球(「\bar B(x;r) = \left \{ y|d(x,y) \le r \right \} 」)。

[]

  • 度量空間,閉集也。(「A=\cup_{x\in A}B(x,1)」)
  • 空集,開集也。
  • 閉集之,閉集也。
  • 若干閉集之,閉集也。
  • 閉球者,閉集也。
  • 閉集去開集,閉集也。

[]

  • 數線為度量空間,不小于二且不大于三之閉區間(「[2,3]」),閉集也。
  • 數線為度量空間,不小于二或不大于三之者,聚以成集(「(-∞,2] ∪ [3,∞)」),閉集也。
  • 數線為度量空間,大于二而不大于三之半閉區間(「(2,3]」)非閉集也。蓋二乃其極限點。
  • 不小于二之數為度量空間(「(2, ∞)」),則大于二而不大于三之半閉區間,三為心而半徑為一之閉球也(「\bar B(3;1) = (2,3] 」)。蓋二不在度量空間內,故非極限點也。
  • 平面為度量空間,含邊界之多邊形內側,內側,橢圓內側,皆閉集也。