進數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

進數者，分數之奇引也，多用於數論。不同之素數，得不同之進數系，曰三進數（記曰「$\mathbb {Q} _{3}$」），五進數（記曰「$\mathbb {Q} _{5}$」）等。

算

以七為例，凡七進數，可書作雙端無窮序列（記曰「$\pm \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}$」或 $\pm \ldots a_{-3}a_{-2}a_{-1}.a_{0}a_{1}a_{2}\ldots$），每項可為零一二三四五六。其四則與實數類同。若項零之前皆為零，此乃七進整數是也。

集

序列定義

夫實數乃分數之柯西序列。進數亦然，惟用不同之度量也。

取一分數，七在子之幕除七在母之幕（記曰「$|\pm p^{k}r/s|=p^{-k}$」），曰七進模也。故卅五分四之模為一分七（「|35/4| = |7 × 5/4|=1/7」）；九分九十八之模為四十九（「|9/98| = |1/49 × 9/2|=49」）；六之模為一（「|6| = |1 × 6|=1」）。

兩數相減，其模為度量，以此量度作柯西序列，為七進數也。

代數定義

三同餘，零至二也；九同餘，零至八也，廿七同餘，零至廿六也，類推之，得無數集。各取一物，得一族，曰七進整數。七進整數之比，七進數也。

性

既為柯西序列，進數系為分數集之拓撲閉包。進數系之代數閉包之拓撲閉包，複數耳。