積拓撲

積拓撲，拓撲之積也。直積合積拓撲，曰積空間。

定義

有拓撲空間族（{X_i}），得其直積（ΠX_i）。積拓撲者，直積之最粗拓撲，以令直積往族中拓撲空間之投影（ΠX_i → X_j, (x_i)→x_j）皆連續也。

若指標集為有限，則拓撲之直積為積拓撲之子基也。

性

• T₀空间之積乃T₀。
• T₁空间之積乃T₁。
• 豪斯多夫空間之積乃豪斯多夫空間。
• 正則空間之積乃正則空間。
• Tychonoff空間之積乃Tychonoff空間。
• 正規空間之積未必正規也。

• 緊空間之積乃緊（Tychonoff定理）。
• 連通空間之積必連通。
• 道路連通空間之積必道路連通。

例

• 二實數集之積空間為平面，三實數集之積空間為三維空間，四實數集之積空間為四維空間，類推可也。
• 二單位區間之積空間為正方形，三單住區間之積空間為立方體。

拓撲術語

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