「拓撲空間」:各本之異
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二〇一三年三月一一日 (一) 一一時三四分審
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
拓撲空間,開集之所也。開集者,無邊者也,疇人以為位相之本。拓撲空間之究,曰拓撲學。
定義
拓撲空間者,集(A)也,且有幕集[一]之子集,曰拓撲(τ)[二][三],其物曰開集。凡拓撲者,必以下是從:
- 空間與空集,皆開集(「A,φ ∈ τ」)。
- 取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「」)。
- 兩開集之交,亦開集也(「x,y ∈ τ ⇒ x ∩ y ∈ τ」)。
開集之補集,曰閉集。且有:
- 空間與空集,皆閉集。
- 取拓撲之子集,其物之交,亦閉集也。
- 兩閉集之並,亦閉集也。
例
- 集與空,成一拓撲。(「τ = {A,φ}」)
- 幕集,成一拓撲,曰離散拓撲。(「τ = P(A)」)
- 度量空間,其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。
- 取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之序拓撲。(「」)
- 平面上一切圖形,合子拓撲,亦拓撲空間也。