映射

文出維基大典
往:
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
單射兼滿射(雙射)
單射而非滿射
滿射而非單射
非單射亦非滿射

映射,或曰函數,東瀛謂之關數,運算之抽象也。四則開方立方等,咸為映射之屬。

定義[]

有甲乙二,凡甲之一物,相應乙之一物,則曰甲映射乙耳。

夫加,映射也,如「三,四」射七,「二,九」射十一。立方者,亦映射也,如二射八,負一射負一。倍者,亦映射也,如二射四,負三射負六。

凡甲不同之物,射乙不同之物,曰單射,亦曰內射。實數之立方,單射也,蓋異數之立方必異。加法者,非單射耳,蓋二加三即四加一也。

凡乙之物,均為甲物所射,曰滿射,亦曰映上。實數之立方,滿射也,蓋實數必有其立方根射之。實數之平方,非滿射耳,蓋負二無方根射之。

單滿合射者,雙射也,亦曰一一對應。實數之立方,雙射也。倍者,整數雙射偶數也。

[]

主文:

問:當世數學,物皆為集,然則何謂甲(A)映射乙(B)(記曰「f: A \rightarrow B」)耶?

答曰:映射乃甲乙之關係[一]也。甲取物曰乾(a),射乙之一物,曰乾之(記曰「f(a)」)。乾與其象,合成一對(記曰「(a, f(a))」),聚以成集,即為映射耳(記曰「f = \{ (a, f(a)) : a \in A \}」)。甲曰定義域,乙曰陪域,而象之集(記曰「f(A) = \{ f(a) : a \in A \}」)曰值域

[]

  • 平方者,非實數映射負數耳,蓋平方必正也。
  • 平方者,實數映射自身,惟單滿皆非。
  • 平方者,實數滿射正數,惟非單射耳。
  • 平方者,正數單射實數,惟非滿射耳。
  • 平方者,正數雙射自身也。

可見映射之性,定於其定義域及陪域也。

[]

[]

  1. 關係者,直積之子集也。