分數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
四分數

分數整數之比也,亦曰有理數[一]。聚以成,則記曰\mathbb{Q}

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問:何謂六分之九?答曰:米一斗,六分之,各有斗六分之一,取九倍之數,即有斗六分之九也。(泰西記曰「9/6」,或「\frac 96」。)六曰分母,亦曰法;九曰分子,亦曰實。

欲算分數之和、差、積、商,當從齊同之法。劉徽曰︰「凡母互乘子謂之齊,群母相乘謂之同。同者,相與通同共一母也;齊者,子與母齊,勢不可失本數也。」

故欲合數分數,當從合分術,以母互乘子,并以為實,母相乘為法,實如法而一。不滿法者,以法命之。其母同者,直相從之。(記曰「\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}」);欲相減之,則從減分術,以母互乘子,以後減前[二],餘為實,母相乘為法,實如法而一。(記曰「\frac ab - \frac cd = \frac{ad-bc}{bd}」);欲相乘之,則從乘分術,以母相乘為法,子相乘為實,實如法而一(記曰「\frac ab \frac cd = \frac{ac}{bd}」。);欲相除之,則易除數之母子,復以乘分術算之(記曰「\frac ab /\frac cd = \frac{ad}{bc}」)。

子除母,曰倒數。取其正數,曰絕對值

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當世數學,空集生自然數,然後整數、分數、實數、複數。然整數何生分數?

取整數甲乙(記曰「(a,b)」)而乙非零,定義一集,曰「乙分之甲」(記曰「a/b」)。凡整數丙丁(記曰「(c,d)」),甲丁之積同乎乙丙者,則收其中(記曰「a/b={(c,d) : ad=bc」)。

由是,「二分之一」同乎「四分之二」、「負六分之負三」;「負三分之四」同乎「六分之負八」、「負九分之十二」耳。

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分數之集,乃之屬矣。


數系
自然數 | 整數 | 有理數 | 進數 | 實數 | 代數數 | 超越數 | 複數 | 虛數 | 超複數 | 四元數 | 八元數 | 十六元數 | 超實數 | 無窮小 | 非標準實數 | 康威數 | 基數 | 序數

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  • 《九章算術》

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  1. 希臘文λογος,意曰可比、有理,故可比之數亦曰有理數耳。
  2. 九章曰:「以少減多」,乃算兩正分數之差,非任意分數相減。今易之,以合當世數學之理。