序數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

序數者,次序之數也。有限序數者,自然數也。無窮序數者,超限數也。

定義[]

有集,曰序數,其元素皆子集(「x\in A\rightarrow x\subset A」),且凡取二物,其一為他者之子集也(任取 x,y∈A,有「x⊆y」或「y⊆x」)。

疇人溤諾曼之自然數定義,則自然數皆為序數耳。

序數,以子集關係為偏序,實良序也,意謂子集必有最小元素也。有定理云,凡良序集(「(A,≥)」),必序同構[一]一序數,謂此良序集之序數也(記曰「Ord(A,≥)」)。

若序數甲為序數乙之子集,則曰甲小于乙。

基數[]

良序公理云:「集皆可良序也。」集之良序,各有一序數,取其最小者,曰集之基數。故基數亦為序數耳。

良序定義[]

凡與一良序集有序同構者,聚以成集,曰序數。此為序數之良序定義也。

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有良序集甲、乙,其交為空(「A ∩ B=φ」),取其,令甲之物必小於乙,得一良序集,其序數為甲序數加乙序數(「Ord(A)+Ord(B)」)。若以乙之物小於甲,其序數為乙序數加甲序數(「Ord(B)+Ord(A)」)。須知此二序數相異,故良序數之加法不合交換律耳。

超限數被加一,同乎己,異乎已加一(「1+m = m \ne m+1」)。

有良序集甲、乙,取其直積,立一良序如下:凡乾坤、陰陽二對,若坤大乎陽,或坤同乎陽而乾大乎陰者,曰乾坤大乎陰陽[二]。則其序數為甲序數乘乙序數也(「Ord(A)Ord(B)」)。然甲序數乘乙序數異乎乙序數乘甲序數,故良序數之乘法亦不合交換律耳。

超限數被乘二,同乎己,異乎已乘二(「2m = m \ne m2」)。

須知基數未有減除也。

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一︰「甲,乙,丙,丁」,與「甲,乙,丁,丙」,次序雖異,然序數同為四。夫有限序數必同乎自然數也。

二︰實數集之基數,乃一序數也,然其序未可知也。

三︰自然數之基數,常用之序也。此乃最小超限數也(記曰「ω」)。

四︰自然數集,令奇數小於偶數,得一良序,其序數為最小超限乘二(記曰「ω 2」)。

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  1. 若 a≥b 則 f(a)≥f(b)
  2. 若 b>d 或 "b=d, a>c",則 (a,b)>(c,d)。