康威數

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往:
尚有同名數系,可見超實數。另,此篇之數學,有欠嚴謹,敬請見諒。

康威數,超實數也,乃康威所創。

康威喜博奕,嘗以數學論圍棋,曰︰「凡遊戲者,咸有一數」。告之其友高德納,大奇之,於一九七四年著小說《超實數:何以令稚子好數?》。夫數學新法,見諸小說先乎文獻,世所罕見也!俄而康威聞「超實數」之名,甚喜,遂用於論文內,由是名世。

遊戲[]

有一棋局,黑白對奕。黑子先行,則有諸般新格局,聚以成集,曰黑部(「GL」);白子先行,亦有諸般新局,聚以成集,曰白部(「GR」)。合此二部,可知當前之棋局(「G=(GL,GR)」)。故有定義曰:

遊戲者,有序對也,而左右皆遊戲之集也。

零者,左右皆空之遊戲也。有定理云:凡後手必勝之遊戲,必為零也。

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康威數者,遊戲也,有定義曰:

數者,有序對也,而左右皆數之集,且右集合之數必大於左者。

以此定義,頗有戴氏切割之神髓也。

一者,左零右空也;二者,左「零、一」右空也;二分之一者,左零右一也。左零右零者,非數也。

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遊戲與數,皆有四則算之,然非符號難以表示之。

欲求和:x + y = { XL + y ∪ x + YL | XR + y ∪ x + YR },須知 X + y = { x + y | x in X } 及 x + Y = { x + y | y in Y }。

欲負之:−x = { −XR | −XL } ,須知 −X = { −x | x in X }。

欲求積:xy = { (XLy + xYLXLYL) ∪ (XRy + xYRXRYR) | (XLy + xYRXLYR) ∪ (XRy + xYLXRYL) },須知 XY = { xy | x in Xy in Y }, Xy = X{y} 及 xY = {x}Y

序數[]

稍作變化,序數亦可作康威數觀。然康威數之四則與序數不相容也。如序數之加不合交換律,而序數亦無乘除可言。序數和異乎其康威數和,如超限數(ω)被加一之序數和為己(「1+ω=ω」),而康威數和為左超限右空也(「ω+1=(ω| )」)。