代數數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

代數數者,整數多項式之根也。聚以成集,記曰\mathbb{A}複數而非代數數者,曰超越數。整數多項式者,多項式內凡系數皆整數者也。

代數整數者,為一之整數多項式之根也。

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  • 負一開方,代數整數也。(多項式為x^2+1=0
  • 二開立方,代數整數也。(多項式為x^3-2=0
  • 六開方加五開方,代數整數也。(多項式為x^4-22x^2+1=0
  • 三除四,代數數也。(多項式為3x-4=0
  • 二除三開方,代數數也。(多項式為4x^2-3=0
  • 圓周率,超越數也。(無多項式以圓周率為根也)
  • 歐拉數,超越數也。(無多項式以歐拉數為根也)

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劉維爾於一八五一年首得超越數,曰劉維爾常數(\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots)。朗伯圓周率無理數,猜想圓周率與歐拉數皆超越數也。

一八七三年,埃爾米特得證歐拉數為超越數。翌年,康托爾得證代數數集為可數集,而實數集不可數,故超越數遠多於代數數也。

一九零零年,林德曼得證圓周率為超越數。困繞疇人千年之古希臘改圓為方題,終證無解。

希爾伯特廿三題之七,謂若甲(a)乙(b)皆代數數而乙亦無理數者,則甲之乙乘方(ab)為超越數,於一九三四年得證。

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代數數之加減乘除,亦代數數也,故代數數集為一

代數閉包[]

一整數多項式,若無分數解,則作一偽根。并入分數域,得一新數域。遁此法延伸至無限,得一域,曰分數之代數閉包,即代數數域。故代數數者,分數以代數法引伸之極限也。

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圓周率與歐拉數之乘方,代數數耶?未知也。