無窮小

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無窮小者,大於零而小於正數者也。初,亞基米德以無窮小論切線,然謂無窮小之不存,以為此論有瑕耶。十二世紀,婆什迦羅第二究無窮小,開微積分學之先,然泰西猶未知也。至十七世紀,牛頓萊布尼茨創微積分,然無窮小之義,時而非零,時而為零[一],似非嚴謹,人多病之。反以最烈者,哲人貝克萊主教也,疇人遂立新法,微積分咸定義實數上,爭議遂息,而無窮小殆不復見。然以無窮小言極限,頗合直觀,故仍偶見於入門課本。一九六零年,魯賓遜另闢蹊徑,言趨向零之柯西數列為無窮小,立新數系,名超實數,以引伸實數。此數系所算之微積分,世稱非標準分析

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  1. 例:若f(x)=x^2,則f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x \cdot \Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( 2x + \Delta x \right) = 2x


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