四元數

文出維基大典
往:

四元數者,四維之數也。夫實數者,線之數也;複數,平面之數也;哈密頓嘗問:「可有三維之數耶?」苦思良久,於都柏林皇家運河畔,得悟四維之數矣,時一八四三年十月十六日。聚以成集,記曰\mathbb{H}

四元數之奇,乘法不合交換律耳。雖知其時之算,殆無不合交換律者[一],故哈密頓之悟,實石破天驚之舉耳。

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四元數者,一實三虛之數也。三虛者,以天(「i」)、地(「j」)、人(「k」)記之。觀乎複數,一實一虛而已,故四元數之用,實乃窮複數之理,故亦曰超複數耳。

問曰:實二天三地五人負一(「2+3i+5j-k」)者,何物耶?

答曰:四維空間內,座標「二、三、五、負一」之點也。

二數加減,實虛自理(「(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)+(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k,(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)-(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i+(c_1-c_2)j+(d_1-d_2)k」)。

二數相乘,有口訣云:天天,地地,人人,天地人,盡負一(「i^2 = j^2 =k^2 =ijk=-1」)。或曰:

天天,地地,人人,負一(「i^2 = j^2 =k^2 =-1 」);
天地得人,地天得負人(「i \, j = k, \, j \, i = -k」);
地人得天,人地得負天(「j \, k = i, \, k \, j = -i」);
人天得地,天人得負地(「k \, i = j, \, i \, k = -j」)。

如實二地三乘實一天二,得實二天四地三人負六(「(2+3j)(1+2i)=2+4i+3j-6k」)。

虛負之,曰軛(記曰「\bar{z}=a-bi-cj-dk」)。

合虛實之方,復開方之,曰(記曰「|z|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}」)。

數軛相乘,為模之方耳。

二數相除,用模軛求商法,被除者乘除者之倒數也(記曰「z_1/z_2=z_1z_2^{-1}=(z_1\bar{z_2})/(|z_2|^2)」)。

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  1. 減、除不合交換律,惟加、乘之逆算而已。


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