四元數

文出維基大典

今本（此為底本，未經審校）

往：嚮, 尋

四元數者，四維之數也。夫實數者，線之數也；複數，平面之數也；哈密頓嘗問：「可有三維之數耶？」苦思良久，於都柏林皇家運河畔，得悟四維之數矣，時一八四三年十月十六日。聚以成集，記曰 $\mathbb{H}$ 。

四元數之奇，乘法不合交換律耳。雖知其時之算，殆無不合交換律者^[一]，故哈密頓之悟，實石破天驚之舉耳。

[纂] 算

四元數者，一實三虛之數也。三虛者，以天（「i」）、地（「j」）、人（「k」）記之。觀乎複數，一實一虛而已，故四元數之用，實乃窮複數之理，故亦曰超複數耳。

問曰：實二天三地五人負一（「2+3i+5j-k」）者，何物耶？

答曰：四維空間內，座標「二、三、五、負一」之點也。

二數加減，實虛自理（「 $(a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k) + (a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i + (c 1 + c 2) j + (d 1 + d 2) k,(a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k) - (a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k) = (a 1 - a 2) + (b 1 - b 2) i + (c 1 - c 2) j + (d 1 - d 2) k$ 」）。