八元數

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八元數者,八維之數也。哈密頓交換律,創四元數,開風氣之先:凱萊分配律,得八元數,故亦稱凱萊之數也(Cayley numbers)。聚以成集,記曰\mathbb{O}

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八元數者,八維空間之點也。八維者,實、天(「i」)、地(「j」)、人(「k」)、幻(「l」)、天幻(「il」)、地幻(「jl」)、人幻(「kl」),共一實七虛。由是可見,其究道之深,較諸複數,尤有過之,故曰超複數也。

二數加減,實虛自理。

二數相乘,有乘數表:

八元數乘法圖
一(1) 天(i) 地(j) 人(k) 幻(l) 天幻(il) 地幻(jl) 人幻(kl)
天(i) 負一(-1) 人(k) 負地(-j) 天幻(il) 負幻(-l) 負人幻(-kl) 地幻(jl)
地(j) 負人(-k) 負一(-1) 天(i) 地幻(jl) 人幻(kl) 負幻(-l) 負天幻(-il)
人(k) 地(j) 負天(-i) 負一(-1) 人幻(kl) 負地幻(-jl) 天幻(il) 負幻(-l)
幻(l) 負天幻(-il) 負地幻(-jl) 負人幻(-kl) 負一(-1) 天(i) 地(j) 人(k)
天幻(il) 幻(l) 負人幻(-kl) 地幻(jl) 負天(-i) 負一(-1) 負人(-k) 地(j)
地幻(jl) 人幻(kl) 幻(l) 負天幻(-il) 負地(-j) 人(k) 負一(-1) 負天(-i)
人幻(kl) 負地幻(-jl) 天幻(il) 幻(l) 負人(-k) 負地(-j) 天(i) 負一(-1)

虛負之,曰軛(記曰「\bar{z}」)。

合虛實之方,復開方之,曰(記曰「|z|」)。

數軛相乘,為模之方耳。

二數相除,用模軛求商法,被除者乘除者之倒數也(記曰「z_1/z_2=z_1z_2^{-1}=(z_1\bar{z_2})/(|z_2|^2)」)。


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