代數數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

代數數者，整數多項式之根也。聚以成集，記曰$\mathbb {A}$。複數而非代數數者，曰超越數。整數多項式者，多項式內凡系數皆整數者也。

代數整數者，隅為一之整數多項式之根也。

例

• 負一開方，代數整數也。（多項式為$x^{2}+1=0$）
• 二開立方，代數整數也。（多項式為$x^{3}-2=0$）
• 六開方加五開方，代數整數也。（多項式為$x^{4}-22x^{2}+1=0$）
• 三除四，代數數也。（多項式為$3x-4=0$）
• 二除三開方，代數數也。（多項式為$4x^{2}-3=0$）
• 圓周率，超越數也。（無多項式以圓周率為根也）
• 歐拉數，超越數也。（無多項式以歐拉數為根也）

史

劉維爾於一八五一年首得超越數，曰劉維爾常數（$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots$）。朗伯證圓周率為無理數，猜想圓周率與歐拉數皆超越數也。

一八七三年，埃爾米特得證歐拉數為超越數。翌年，康托爾得證代數數集為可數集，而實數集不可數，故超越數遠多於代數數也。

一九零零年，林德曼得證圓周率為超越數。困繞疇人千年之古希臘改圓為方題，終證無解。

希爾伯特廿三題之七，謂若甲（a）乙（b）皆代數數而乙亦無理數者，則甲之乙乘方（a^b）為超越數，於一九三四年得證。

性

代數數之加減乘除，亦代數數也，故代數數集為一域。

代數閉包

一整數多項式，若無分數解，則作一偽根。并入分數域，得一新數域。遁此法延伸至無限，得一域，曰分數之代數閉包，即代數數域。故代數數者，分數以代數法引伸之極限也。

問

圓周率與歐拉數之和、差、積、商、乘方，代數數耶？未知也。