矢量空間

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

矢量空間者，歐基里德空間之引伸也，亦曰線性空間、向量空間，究之者，線性代數也。

定義

矢量空間者，交換群（V ）也，其物曰矢量或向量，合一域（Ｆ），曰標量域，其物曰標量；並有標量乘法。標量乘法者，標量乘矢量得矢量（F × V → V，(r,v)→ rv ），必以下是從：

• 標量甲乘矢量乙丙之和，同乎甲乙積加甲丙積（「r(x+y) = rx+ry」），曰分配律。
• 標量甲乙之和乘矢量丙，同乎甲丙積加乙丙積（「(r+s)x = rx+sx」），曰分配律。
• 標量甲乙之積乘矢量丙，同乎甲乘乙丙之積（「(rs)x = r(sx)」）。
• 標量「一」乘矢量甲得甲（「1x = x」）。

因標量域是環，可知矢量空間實模也。

若標量為實數，曰實矢量空間。若標量為複數，曰複矢量空間。

矢量空間之最小生成集，曰基。基之大小，曰維數。

例

• 域直積（「$\mathbb {F} ^{n}$」），域之物為標量，維數為域之數（「n」）。
• 實數集直積複數集（「$\mathbb {R} \times \mathbb {C}$」），實數為標量，維數乃三。
• 實數集，分數為標量，維數無窮。
• 多項式集，實數為標量，維數無窮。