序數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

序數者，次序之數也。有限序數者，自然數也。無窮序數者，超限數也。

定義

有集，曰序數，其元素皆子集（「$x\in A\rightarrow x\subset A$」），且凡取二物，其一為他者之子集也（任取 x,y∈A，有「x⊆y」或「y⊆x」）。

疇人溤諾曼之自然數定義，則自然數皆為序數耳。

序數，以子集關係為偏序，實良序也，意謂子集必有最小元素也。有定理云，凡良序集（「(A,≥)」），必序同構一序數，謂此良序集之序數也（記曰「Ord(A,≥)」）。

若序數甲為序數乙之子集，則曰甲小于乙。

基數

良序公理云：「集皆可良序也。」集之良序，各有一序數，取其最小者，曰集之基數。故基數亦為序數耳。

良序定義

凡與一良序集有序同構者，聚以成集，曰序數。此為序數之良序定義也。

算

有良序集甲、乙，其交為空（「A ∩ B=φ」），取其並，令甲之物必小於乙，得一良序集，其序數為甲序數加乙序數（「Ord(A)+Ord(B)」）。若以乙之物小於甲，其序數為乙序數加甲序數（「Ord(B)+Ord(A)」）。須知此二序數相異，故良序數之加法不合交換律耳。

超限數被加一，同乎己，異乎已加一（「$1+m=m\neq m+1$」）。

有良序集甲、乙，取其直積，立一良序如下：凡乾坤、陰陽二對，若坤大乎陽，或坤同乎陽而乾大乎陰者，曰乾坤大乎陰陽。則其序數為甲序數乘乙序數也（「Ord(A)Ord(B)」）。然甲序數乘乙序數異乎乙序數乘甲序數，故良序數之乘法亦不合交換律耳。

超限數被乘二，同乎己，異乎已乘二（「$2m=m\neq m2$」）。

須知基數未有減除也。

例

一︰「甲，乙，丙，丁」，與「甲，乙，丁，丙」，次序雖異，然序數同為四。夫有限序數必同乎自然數也。

二︰實數集之基數，乃一序數也，然其序未可知也。

三︰自然數之基數，常用之序也。此乃最小超限數也（記曰「ω」）。

四︰自然數集，令奇數小於偶數，得一良序，其序數為最小超限乘二（記曰「ω 2」）。