因式分解

因式分解者，幾無異於求自然數之因數也，惟求因者乃一多項式，而非凡數也；而後，書之為眾多項式之積。多項式之因同為多項式也。

法

• 取公因數

若多項式各係數兼常數項之最大公因數非一也，則抽之而為因數；若多項式中各項皆有一變數，同上，抽之而為因數。

例：$20x^{3}+5x^{2}y-35xz^{2}=5x(4x^{2}+xy-7z^{2})$

• 併類項

若非一眼可知之者，試併類項而後分解，或可易之乎。

例：$6ab-2ac-3b^{2}+bc=2a(3b-c)-b(3b-c)=(2a-b)(3b-c)$

• 恆等式

引恆等式能助吾等化其因數也。

例一：$x^{2}-4xy+4y^{2}-49=(x-2y)^{2}-7^{2}=(x-2y+7)(x-2y-7)$

例二：$8p^{3}+12p^{2}q-18pq^{2}-27q^{3}=(2p-3q)(4p^{2}+6pq+9q^{2})+6p(2p-3q)=(2p-3q)(4p^{2}+12pq+9q^{2})=(2p-3q)(2p+3q)^{2}$

• 十字相乘法

凡二次多項式 $ax^{2}+bx+c$ 或 $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ 之制者（其中 $x,y$ 者為變量，其余具常數也），欲因式分解之，設 $ax^{2}+bx+c=(px+q)(mx+n)$ 或 $ax^{2}+bxy+cy^{2}=(px+qy)(mx+ny)$，復得聯立方程： ${\begin{cases}pm=a\\qn=c\\pn+qm=b\end{cases}}$ 。求其整數解則可因式分解之矣，惟其中必嘗屢試屢敗，而後精之者迅得其解乎。求解之步：書一叉，左二端置變量 $x$ ，右二端視多項式之制，可置常數或變量，叉之二線，二端相乘，復加之，試，得解而止。深諳其道者不必書叉，心中有之，速算矣。

例一：$21x^{2}-16x-20=(7x-10)(3x+2)$ （其目： ${\begin{cases}pm=21\\qn=-20\\pn+qm=-16\end{cases}}$ 。緣七三廿一，負十乘二負二十，負十乘三加七二乘得負十六，立。）

例二：$30x^{2}-19xy-5y^{2}=(6x-5y)(5x+y)$ （其目： ${\begin{cases}pm=30\\qn=-5\\pn+qm=-19\end{cases}}$ 。緣六五中三十，負五乘一得負五，負五乘五加六一乘得負十九，立。）

• 因式定理

設一多項式 $P(x)$ ， $mx-n$ 乃其一因子若且惟若 $P({\frac {n}{m}})=0$ 。其用乃於多項式次方甚大時，非立知之而弗能以十字相乘法解之也。同上，需屢敗屢試也。

例：緣 $(-3)^{3}+6(-3)^{2}+11(-3)+6=0$ ，故 $x+3$ 乃 $x^{3}+6x^{2}+11x+6$ 因子之一。得 $x^{3}+6x^{2}+11x+6=(x+3)(x^{2}+3x+2)$ 。復以十字相乘法，得 $x^{3}+6x^{2}+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)$ 。