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者, 物之聚也. 集內之物, 記曰元素. 乙為甲之元素, 記曰乙∈甲.

凡甲之元素, 亦乙之元素; 乙之元素, 亦甲之元素; 則甲同乎乙. 因此集內元素,重者不算,其序不辨,故曰 {a,b,c,d}={a,b,c,d,d}={b,a,c,d}={b,a,d,a,c,b,c}。此乃外延公理也.

初, 物聚必集成, 悖論生矣. 解決之法, 公理化也. 空集公理曰︰有空集矣. 空集者, 無物之集也, 記作φ或{ },乃數之起點也.

配對公理云︰有集甲、乙,則有集{甲,乙}. 若甲同乎乙, 則得{ 甲 }. 由配對公理與空集公理, 得{φ}, {φ,{φ}}, { {φ}}諸集.

並集者, 集之並也. 若有集A,則其元素之並, 記曰, 亦為集耳. 此乃並集公理也.

有集甲、乙,則有集{甲,乙}, 則有並元素之並, 即甲U乙也.

有集甲, 則有集{甲}, 則有甲與{甲}之並, 名曰甲之後繼也. 空集之後繼為{φ}, 其後繼為{φ}, 其後繼為{φ,{φ}}, 其後繼為{φ,{φ},{φ,{φ}}}, 等.

無窮公理日︰有集, 空集是元素, 其元素之後繼亦是元素。此為自然數之基礎也.

凡甲之元素, 亦乙之元素, 則稱甲為乙之子集. 分類公理曰:有集甲及命題丙,則{ x | x,甲之元素也,且合命題丙}亦成集耳。又曰子集公理。

交集者, 集之交也. 若有集A, 則其元素之交, 記曰譯不成 (未知函式): {\displaystyle \cap_{X\in A} X =\{x : x\in \cup_{X\in A}X, (\for X\in A) x\in X\}} , 亦成無耳.

替代公理云︰有集甲及替代法,則{ x | x,甲某元素之替代品也}亦成集耳。若替代品由非集之聚得之, 需用此公理.

甲之幕集者, { x | x ⊆甲}也, 記曰 P(甲). 冪集公理︰若有集,則其幕集亦存。

設奇={奇}, 則奇可是集也? 若不欲有如斯怪集, 可用正規公理︰若有非空集甲,則有元素乙,而甲乙之交集為空。據此公理, 再無含已之集矣.

前述公理, 稱ZF集論,幾何蓋函所有定理, 而猶有不足之處.

故有選擇公理︰若有非空集甲,其元素亦非空, 則有集乙,凡X∈甲則有x∈X且(X,x)∈乙, 且若(X,x),(X,y)∈乙則x=y.

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君可知前篇未有任何數字? 皆因數字尚未被定義也.

由無窮公理, 得集甲. 取 { X | X ∈P(甲), φ∈X 且 x∈X 則 xU{x} ∈X }, 記此集元素之交為N. 且有特性如下:

  • 有元素φ
  • 其元素之後繼亦是元素;
  • 非空之元素,亦是他者之後繼;
  • 物異,則其後繼亦異;
  • 凡合"φ∈X" 且 "x∈X 則 xU{x} ∈X"者,有N∈X.

此乃皮亞諾之自然數定理也.

現定義零為空集,一為零為後繼,二為一之後繼,如此類推.以符號記之,有0={ }, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2},... 頗有無生一,一生二,二生三之味道.

集合之基數,其大小是也.如集甲及隻乙有一一對應,則稱甲乙基數相同.凡基數同乎自然數n者,稱其基數等於n,或有n個元素.從此,爾等可說一個橙,二件衫,三個集合矣.