一元二次方程

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

元數一而次數二之方程，是謂一元二次方程。通式：$ax^{2}+bx+c=0\quad \left(a\neq 0\right)$。

法

因式分解法

化方程爲$ax^{2}+bx+c=0\,\!$者。若可拆之為因式積，則可以因式分解之。

公式法

方程如$ax^{2}+bx+c=0\quad \left(a\neq 0\right)$者，其解爲：

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

亦作爲：

$x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}.$

證明

公式者，可以配方證之。

一般

一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)\,\!$者，$\Delta =b^{2}-4ac\,\!$乃其根之判式也。以判式，得解如下：

• 若$\Delta >0$，則此方程含不等實數根有二。若係數均有理數，且$\Delta$乃完全平方數，則二解均有理數，否則均爲實數矣。

• 若$\Delta =0$，則此方程含實數根有一。為

$x=-{\frac {b}{2a}}\,\!$

• 若$\Delta <0$，則此方程含不等複數根有二。為

$x_{1,2}={\frac {-b}{2a}}\pm i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}$

其中$i^{2}=-1$

二次映射法

方程$ax^{2}+bx+c=0$解之幾何意，爲二次映射$y=ax^{2}+bx+c$之圖像與x軸交點之X坐標也。

韋達定理

以韋達定理，方程之解，並係數之關係如下：

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}\,\!$

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}\,\!$

用

今人有用其分解因式者，化為通式，求之雙根，則方程之左化為兩式之積。兩式均為天元減其根，勿論正負。復乘二次之系數，即得。以分解因式求根者逆之，毋贅。$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ 。$x_{1}$、$x_{2}$者，$ax^{2}+bx+c=0$之雙根也。