基數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

基數者，集之大小也。

定義

甲（「A」）之基數（記曰「|A|」）者，其元素之多寡也。基數者，自然數之推廣也，蓋元素可以無窮多耳。

以集論言之，凡與甲有一一對應者，聚以集成，則甲之基數也。故若甲乙有一一對應，則二者基數同矣（記曰「|A|=|B|」）。

疇人溤諾曼以自然數為集，如三為「零，一，二」之集也。基數為三者，意謂基數與三同耳，則其元素亦有三。

若甲有單射乙者，則曰甲之基數不多於乙也（記曰「|A|≤|B|」）。

蓋亦可以「最小序數」目之，詳見序數一文。

算

甲乙二集，其交為空（「A ∩ B=φ」），則並之基數為基數之和也（「|A ∪ B|=|A| + |B|」）。

甲乙二集，直積之基數為基數之積也（「|A x B|=|A| x |B|」）。

須知基數未有減除也。

例

一︰「甲，乙，丙，丁」之集，基數為四。

二︰空集者，無物之集也，基數為零。

三︰倍者，整數一一對應偶數也，故整數集之基數同乎偶數集。然若集之基數同乎其真子集，即無窮集合之象也。

四︰自然數之基數小於實數也。