畢達哥拉斯常數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

畢達哥拉斯常數，即二之開方，算家之恆數也。記曰${\sqrt {2}}$，即$2^{\frac {1}{2}}$，其值$=1.41421356\cdots \cdots$，綿延而無盡。若作方一之正方形，其對角斜界之長，即此數也。

辨不盡

奇偶之證

此數誠屬不盡根，斷非子母數所能窮。何以明之？

設此數可齊為子母數，令子為甲，母為乙，約至至簡，則甲、乙既互質，必不俱偶。

依題之理，甲自乘，等乎乙自乘之倍。揆偶之自乘，方為偶；奇之自乘，必為奇。甲自乘既為偶，則甲必為偶。

令甲為丙之倍，代入前式，則甲自乘乃丙自乘之四倍；折半計之，得乙自乘乃丙自乘之倍。

由是觀之，乙亦為偶。夫甲乙俱偶，有悖於「甲乙不俱偶」之初設。由是反推，其非子母數明矣。

遞降之證

復有一法。假設${\sqrt {2}}$可齊為子母數，令其為${\frac {a}{b}}$。今立一聚，命曰$S=\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:n{\sqrt {2}}\in \mathbb {Z} ^{+}\}$，即凡乘${\sqrt {2}}$而得正整數之正整數，皆屬此聚。

顯而易見，母數$b$必在此聚中（$b\in S$），故$S$實非空無。依良序之理，凡非空之正整數聚，必具至微之數，姑命$S$中至微者為$n$。復令$m=n{\sqrt {2}}$，因$n\in S$，故$m$ 亦為正整數。由此可推演：

${\frac {2n}{m}}=2\cdot {\frac {n}{m}}=2\cdot {\frac {1}{\frac {m}{n}}}=2\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}$

由是演段：

${\begin{array}{lcl}m&=&n{\sqrt {2}}\\2n&=&m{\sqrt {2}}\\2n-m&=&(m-n){\sqrt {2}}\\\end{array}}$

夫$2n$與$m$俱為整數，其差必屬整數，故可知$m-n$亦在$S$聚之中（$m-n\in S$）。且因$1<{\sqrt {2}}<2$，可知$n<m<2n$，從而得$0<m-n<n$。

既$m-n$為正整數，且微於$n$，此有悖於「$n$為$S$中至微之數」之初設。理既相左，故知${\sqrt {2}}$之決非子母數也明矣。

沿革

昔東周貞定王之世，泰西疇人畢達哥拉斯考勾股之理，悟等腰直角三角之兩旁（短邊）與斜邊（長邊），其率為一與開方二（記曰${\sqrt {2}}$）。然畢氏門宗，素泥於「萬物皆數」之說，謂天地之量皆可為子母之比。後其門人希巴素斯，覺開方二（暨${\sqrt {2}}$）乃無公度之量，立論破之。世傳畢氏駭其敗法，竟投之於海。

溯其更早，西曆紀元前千八百年至千六百年間，巴比倫人已得開方二之密率。其數為一又六十分之二十四，益以三千六百分之五十一，復益以二十一萬六千分之十，折合今數約為一點四一四二一二九六。記之曰：${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}\approx 1.41421296...$。其密已達百萬分之一矣。

算術

欲求${\sqrt {2}}$此數之微，古來術法孔多。然以巴比倫之法為最簡。其術曰：

1. 略估${\sqrt {2}}$之值，設為$a$；
2. 二除以$a$，復加以$a$，又以二除之，使其代入$a$中。（以式示之，曰${\frac {a+{\frac {2}{a}}}{2}}$。）

如此展轉相代，步步逼近，則所求之數$a$漸與開方二（即${\sqrt {2}}$）合契。

洎乎當世，算器大備，${\sqrt {2}}$此數已推至十兆位之外。

理致

此數於算學，其用弘廣。

八線

半直角之正弦與餘弦，皆為開方二之半（${\frac {1}{\sqrt {2}}}$）。

記之曰：$\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {2}}}$。

故八線之術，須臾不可離${\sqrt {2}}$斯數。

代數

開方二自乘減一即為一。是以開方二減一，與開方二加一，兩數相乘恆為一。即其加一乃其減一之倒數也。記之曰：${\sqrt {2}}^{2}-1=1$，故$({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=1$，或${\sqrt {2}}+1={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}$。此理與算家所謂白銀比例相應。

疊分

開方二（即${\sqrt {2}}$）之連分數，簡整明瞭。

$\!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}$（即：一加「二加『二加（下窮無盡）之一』之一」。）

緣其律秩然，欲求漸近之數極易，觀佩爾數一欄自明。