畢達哥拉斯常數
外觀
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
畢達哥拉斯常數者,數學常數也,記曰
無理性
[纂]奇偶性
[纂]假設畢達哥拉斯常數屬有理數,則其為甲除乙之商也,設甲與乙互質。而甲與乙中必有奇數者,又有甲之平方乃乙之平方乘以二也。故甲之平方為偶數,從而甲偶。設甲為丙乘以二,則運算後可得乙之平方乃丙之平方乘以二也,從而乙偶。此有悖於「甲與乙互質,甲與乙中必有奇數者」之假設,故畢達哥拉斯常數屬無理數。
遞減
[纂]設有理,定義。易見,故非空。基於良序原理,中必有最小之數,稱其為。設。因而。吾有
因此。又,故非中最小之數,有悖於前文假設。
歷史
[纂]畢達哥拉斯常數者,乃於東周貞定王年間所發現。畢達哥拉斯証勾股定理時,始悟一等腰直角三角形中,其長邊與其短邊之比乃。因畢達哥拉斯之徒深信世間凡數者,皆為兩數之商之論,故門徒希巴素斯証無理時,即被畢達哥拉斯投於海中而亡。
公元前1800-1600年間,巴比倫族人已得,乃確至逾百萬之一也。
算術
[纂]估之值,計策尤多。然而許多尤繁,不便於算,惟巴比倫之策可得之有理數估值。其律如下:
其一:略估之值,設為。
其二:算二除以之值,後加以,又以二除之,使其代入中。(以式示之,曰。)
如是重複,則之值漸近也。
至今為止,已被算至十兆數位。
特質
[纂]三角函數
[纂]半直角之正弦及餘弦皆為之半:。
故於三角學中乃密不可分之部也。
代數
[纂]因為,故,或。此特質與白銀比例有關也。
連分數
[纂]之連分數尤為簡易:
故連分數之估算尤易而得:詳見佩爾數一欄。