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畢達哥拉斯常數

文出維基大典
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

畢達哥拉斯常數者,數學常數也,記曰

無理性[]

奇偶性[]

假設畢達哥拉斯常數屬有理數,則其為甲除乙之商也,設甲與乙互質。而甲與乙中必有奇數者,又有甲之平方乃乙之平方乘以二也。故甲之平方為偶數,從而甲偶。設甲為丙乘以二,則運算後可得乙之平方乃丙之平方乘以二也,從而乙偶。此有悖於「甲與乙互質,甲與乙中必有奇數者」之假設,故畢達哥拉斯常數屬無理數。

遞減[]

有理,定義。易見,故非空。基於良序原理中必有最小之數,稱其為。設。因而。吾有

因此。又,故中最小之數,有悖於前文假設。

歷史[]

畢達哥拉斯常數者,乃於東周貞定王年間所發現。畢達哥拉斯勾股定理時,始悟一等腰直角三角形中,其長邊與其短邊之比乃。因畢達哥拉斯之徒深信世間凡數者,皆為兩數之商之論,故門徒希巴素斯無理時,即被畢達哥拉斯投於海中而亡。

公元前1800-1600年間,巴比倫族人已得,乃確至逾百萬之一也。

算術[]

之值,計策尤多。然而許多尤繁,不便於算,惟巴比倫之策可得之有理數估值。其律如下:

其一:略估之值,設為

其二:算二除以之值,後加以,又以二除之,使其代入中。(以式示之,曰。)

如是重複,則之值漸近也。

至今為止,已被算至十兆數位。

特質[]

三角函數[]

半直角之正弦及餘弦皆為之半:

於三角學中乃密不可分之部也。

代數[]

因為,故,或。此特質與白銀比例有關也。

連分數[]

之連分數尤為簡易:

故連分數之估算尤易而得:詳見佩爾數一欄。