洛倫茨變換

洛倫茨變換，各參照系物理量之轉換關係也，數學方程組也。

名於創立者荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲。洛倫茲變換初以調經典電動力學牛頓力學，後乃狹義相對論基本方程組也。

始

麥克斯韋方程組之經典電動力學於經典力學伽利略變換非協變也。

數學形式

加速觀者世界線之時空。豎時橫距，虛劃時空軌也。

洛倫茲變換視以太存也，然今未見有也。據光速不變原理，光恆速也。愛因斯坦遂提之狹義相對論，時空乃一也，遂曰：

${\begin{cases}x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y'=y\\z'=z\\t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}$

箇中：x、y、z、t，慣性坐標系Σ之位也；x'、y'、z'、t'慣性坐標系Σ'之位也；v，Σ'系對Σ沿x軸之速也。

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

${\begin{cases}x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y=y'\\z=z'\\t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}$

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

${\begin{cases}x'=x-vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}$

遂狹義相對論經典力學不矛盾，差之不大。高速如電子，方須慮修之以相對論。

四維形式

狹義相對論時空坐標四參數（（t,x,y,z））也。洛倫茲變換可得四維間隔不變之變。

若x、y、z化x¹、x²、x³曰：

${\begin{cases}x^{0}=ct\\x^{\prime }{}^{0}=ct^{\prime }\end{cases}}$

可矩陣之：

${\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\\x^{\prime }{}^{2}\\x^{\prime }{}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}$

箇中$\beta ={\frac {v}{c}},\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$，曰洛倫茲因子。

勞侖茲變換之推導

愛因斯坦初推之勞侖茲變換以光速不變之物理原則作始點。實，勞侖茲變換不決於電磁波之物理性質；粒子定域性原理之弗能瞬傳，此最高速巧光速也。

群論之推導

作乘組群符之公理曰：

1. 閉合：以$[K\to K^{\prime }]$寫$K$到$K^{\prime }$。$[K\to K^{\prime \prime }]=[K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]$
2. 結合律：$[K\to K^{\prime }]\left([K^{\prime }\to K^{\prime \prime }][K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]\right)=\left([K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]\right)[K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]$
3. 單位元：$[K\to K]$
4. 逆元：$[K\to K^{\prime }]$可返原系$[K^{\prime }\to K]$

符合群公理之轉矩陣

$K$、$K^{\prime }$，$K^{\prime }$之原點相對$K$原點速$v$（設向$z$無$x$、$y$方向）。出時空之均勻性勞侖茲變換必保慣性，必一綫性轉換，可矩陣之：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

箇中$\Lambda _{ij}$乃待算之矩陣元。相對速$v$之函數。

參照系$K^{\prime }$之原點$O^{\prime }$於參照系$K$之運動曰：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\vt\end{pmatrix}}$

得

$\Lambda _{21}+v\,\Lambda _{22}=0$

同，參照系$K$之原點$O$於參照系$K^{\prime }$之運動曰：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\-vt^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}$

得

$\Lambda _{21}+v\,\Lambda _{11}=0$

主斜同且可曰$\gamma \equiv \Lambda _{11}=\Lambda _{22}\,$。$\Lambda _{21}=-v\,\gamma$：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

因$t^{\prime }=\gamma t$，$\gamma$乃時間膨脹之因子。各向同性$\gamma$僅決速即$\gamma (-v)=\gamma (v)$。

群元可逆故取逆矩陣：

${\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}$

以$\gamma$之性質：

${\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}$

每較得：

$\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma =1$

閉合性求兩轉換等速度和之單次轉換。即兩矩陣之積：

${\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }&\Lambda _{12}^{\prime }\\-v^{\prime }\gamma ^{\prime }&\gamma ^{\prime }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }\gamma -\Lambda _{12}^{\prime }v\gamma &\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}+\gamma \Lambda _{12}^{\prime }\\-\gamma ^{\prime }\gamma (v+v^{\prime })&\gamma ^{\prime }\gamma -v^{\prime }\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}\end{pmatrix}}$

必擁同之矩陣型式。故曰：

$\kappa \equiv {\frac {\Lambda _{12}}{v\gamma }}={\frac {\Lambda _{12}^{\prime }}{v^{\prime }\gamma ^{\prime }}}$

必一相對速$v$無關之常數。插入較前等式得$\gamma$之定義：

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}$

而最廣泛之勞侖茲變換矩陣型式曰：

${\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}{\begin{pmatrix}1&\kappa v\\-v&1\end{pmatrix}}$

至此$c^{2}={\frac {1}{|\kappa |}}$乃不變速。若$\kappa \,>0$，c限之。未符實。故$\kappa \leq 0$。

可曰$\kappa \,=0$、$\kappa \,<0$兩：

伽利略轉換

$\kappa =0$得伽利略轉換矩陣：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

於此時乃絕對之：$t^{\prime }=t$。

勞侖茲變換

於更一般$c={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}}<\infty$之情况遂得前之勞侖茲變換矩陣：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\begin{pmatrix}1&-{\frac {v}{c^{2}}}\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

遂所有參照系不變之速限：$c$。

速度變換公式

設慣性坐標系Σ之各軸之速量u_x、u_y、u_z；Σ'之各軸之速量u'_x、u'_y、u'_z：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

$u'_{x}=u_{x}-v$

$u'_{y}=u_{y}$

$u'_{z}=u_{z}$

其他物理量之變換

類時分量$A$、類空分量$\mathbf {Z} =(Z_{x},Z_{y},Z_{z})$之四維向量$(A,\mathbf {Z} )$，其閔考斯基範（Minkowski norm）乃勞倫茲不變量（Lorentz invariant）：

$A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} =A'^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '$。

仿寫：

${\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-\mathbf {Z} \cdot {\boldsymbol {\beta }}\right){\mbox{，}}\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma A{\boldsymbol {\beta }}{\mbox{，}}\end{aligned}}$

箇中${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c=v\mathbf {n} /c}$，${\textstyle \mathbf {n} }$乃$\mathbf {v}$方向上之單位向量。$\mathbf {Z}$、$\mathbf {Z} '$分解成垂直$\mathbf {v}$和平行$\mathbf {v}$與位置向量之分解方法同。取逆變換與四維位置同，遂換$(A,\mathbf {Z} )$與$(A',\mathbf {Z} ')$，後相反相對動向，即$\mathbf {n} \mapsto -\mathbf {n}$。

常見之四維向量如下表：

四維向量	$A$	$\mathbf {Z}$
四維位置	時間（乘以$c$）$ct$	位置向量 $\mathbf {r}$
四維動量	能量（除以$c$）$E/c$	動量 $\mathbf {p}$
四維波向量	角頻率（除以$c$）$\omega /c$	波向量 $\mathbf {k}$
四維自旋	（無名稱）$s_{\text{t}}$	自旋 $\mathbf {s}$
四維電流密度	電荷密度（乘以$c$）$\rho c$	電流密度$\mathbf {j}$
四維電磁位勢	電位（除以$c$）$\phi /c$	磁向量位 $\mathbf {A}$

洛倫茲變換之幾何理解

平面幾何向量某$(x,y)$於原點以$\theta$順旋之。新系同向量$(x^{\prime },y^{\prime })$曰：

${\begin{bmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

長不變曰：$(x^{\prime })^{2}+(y^{\prime })^{2}=(x)^{2}+(y)^{2}$。

異角度$\phi$再旋之，向量新舊關係曰：

${\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }\\y^{\prime \prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta +\phi )&\sin(\theta +\phi )\\-\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

即：續旋可加。

相似，定義快度$w={\text{arctanh}}\beta$（略$x^{2}$和$x^{3}$）公式可曰：

${\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}$

即：洛倫兹變換數學同於雙曲角旋轉。

旋長不變乃：

$(x^{\prime }{}^{0})^{2}-(x^{\prime }{}^{1})^{2}=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}$。

換異速$\beta _{21}$之系，再換$\beta _{32}$之。使$w_{21}={\text{arctanh}}\beta _{21}$、$w_{32}={\text{arctanh}}\beta _{32}$。即原系座標$(x^{0},x^{1})$兩換$(x^{\prime \prime }{}^{0},x^{\prime \prime }{}^{1})$曰：

${\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }{}^{0}\\x^{\prime \prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh(w_{21}+w_{32})&-\sinh(w_{21}+w_{32})\\-\sinh(w_{21}+w_{32})&\cosh(w_{21}+w_{32})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}$

遂見直加之數非速$\beta$而乃角之$w={\text{arctanh}}\beta$。

直加減惟因速遠小光（$\beta \ll 1$）$w$速$w\simeq \beta$。

終，直接轉換若兩速$\beta _{31}$即：

${\begin{aligned}w_{31}&=w_{21}+w_{32}\\\tanh w_{31}&=\tanh(w_{21}+w_{32})={\frac {\tanh w_{21}+\tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21}\tanh w_{32}}}\\\beta _{31}&={\frac {\beta _{21}+\beta _{32}}{1+\beta _{21}\beta _{32}}}\end{aligned}}$

得之相對論速率加法公式。

群論表述

詳見：勞侖茲群