洛倫茨變換,各參照系物理量之轉換關係也,數學方程組也。
名於創立者荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲。洛倫茲變換初以調經典電動力學牛頓力學,後乃狹義相對論基本方程組也。
麥克斯韋方程組之經典電動力學於經典力學伽利略變換非協變也。
加速觀者世界線之時空。豎時橫距,虛劃時空軌也。
洛倫茲變換視以太存也,然今未見有也。據光速不變原理,光恆速也。愛因斯坦遂提之狹義相對論,時空乃一也,遂曰:
![{\displaystyle {\begin{cases}x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y'=y\\z'=z\\t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9751abb7194030c36ec584959b9384feb04c8009)
箇中:x、y、z、t,慣性坐標系Σ之位也;x'、y'、z'、t'慣性坐標系Σ'之位也;v,Σ'系對Σ沿x軸之速也。
v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式:
![{\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y=y'\\z=z'\\t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dec206fb2552d8254d7a0a59b8e375e717469a)
v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換:
![{\displaystyle {\begin{cases}x'=x-vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0b6cac9052c90a25ed71af2f82966a2abbe22b)
遂狹義相對論經典力學不矛盾,差之不大。高速如電子,方須慮修之以相對論。
狹義相對論時空坐標四參數((t,x,y,z))也。洛倫茲變換可得四維間隔不變之變。
若x、y、z化x1、x2、x3曰:
![{\displaystyle {\begin{cases}x^{0}=ct\\x^{\prime }{}^{0}=ct^{\prime }\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4541d474b65e5749c57a5f3944baaed125425f28)
可矩陣之:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\\x^{\prime }{}^{2}\\x^{\prime }{}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc2e8cb702297b09d899ed90cde8529bba74352)
箇中
,曰洛倫茲因子。
愛因斯坦初推之勞侖茲變換以光速不變之物理原則作始點。實,勞侖茲變換不決於電磁波之物理性質;粒子定域性原理之弗能瞬傳,此最高速巧光速也。
作乘組群符之公理曰:
- 閉合:以
寫
到
。![{\displaystyle [K\to K^{\prime \prime }]=[K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c099ecbc6b87ef1c007cb36540c5678bf3933d49)
- 結合律:
![{\displaystyle [K\to K^{\prime }]\left([K^{\prime }\to K^{\prime \prime }][K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]\right)=\left([K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]\right)[K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebb96d3a9589a00003565f120ed28f2ddb85f46)
- 單位元:
![{\displaystyle [K\to K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98efea531b69dc820fa963abc2411cd22fb9f77)
- 逆元:
可返原系![{\displaystyle [K^{\prime }\to K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7d5a861e5e3cbdcda81976bcca93b57e005ebd)
、
,
之原點相對
原點速
(設向
無
、
方向)。出時空之均勻性勞侖茲變換必保慣性,必一綫性轉換,可矩陣之:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c782a82200c3fe0f1bff2ca00b5f4c0d44f3e321)
箇中
乃待算之矩陣元。相對速
之函數。
參照系
之原點
於參照系
之運動曰:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\vt\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385c712a458deece1f5a6bb66ca8de174454ca8a)
得
![{\displaystyle \Lambda _{21}+v\,\Lambda _{22}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ae2a142b6aac295304f8ce769844ddce04ba90)
同,參照系
之原點
於參照系
之運動曰:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\-vt^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffc75c5b232ed746c0a4f8e93fadbbe6f5c7a05)
得
![{\displaystyle \Lambda _{21}+v\,\Lambda _{11}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f68264748458c0830b82ab9aec3e6906dec10d)
主斜同且可曰
。
:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcd90d371b3724bec670b4b573608eac674e866)
因
,
乃時間膨脹之因子。各向同性
僅決速即
。
群元可逆故取逆矩陣:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88af1d8377c73a6066e50bd3bb85e0866a989d0f)
以
之性質:
![{\displaystyle {\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e8639a2a0f594293ea31a2c806162884cd1481)
每較得:
![{\displaystyle \gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dcfa4f9c3fe77bf4cd11cf8952f295082f8036f)
閉合性求兩轉換等速度和之單次轉換。即兩矩陣之積:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }&\Lambda _{12}^{\prime }\\-v^{\prime }\gamma ^{\prime }&\gamma ^{\prime }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }\gamma -\Lambda _{12}^{\prime }v\gamma &\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}+\gamma \Lambda _{12}^{\prime }\\-\gamma ^{\prime }\gamma (v+v^{\prime })&\gamma ^{\prime }\gamma -v^{\prime }\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084b4024491b20d0af9b77e185151aaf52dbc7ab)
必擁同之矩陣型式。故曰:
![{\displaystyle \kappa \equiv {\frac {\Lambda _{12}}{v\gamma }}={\frac {\Lambda _{12}^{\prime }}{v^{\prime }\gamma ^{\prime }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e37ee5ea64f90d151af9a6c818ff910eba1b55)
必一相對速
無關之常數。插入較前等式得
之定義:
![{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4475a8651007287d4f62b65ee7aa103abe9e3a95)
而最廣泛之勞侖茲變換矩陣型式曰:
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}{\begin{pmatrix}1&\kappa v\\-v&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a476a6b51dc294b9c276b0c0c91b5b0464de8f6)
至此
乃不變速。若
,c限之。未符實。故
。
可曰
、
兩:
得伽利略轉換矩陣:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0c2144276669dd3f8ea095713aa6bd391fbc61)
於此時乃絕對之:
。
於更一般
之情况遂得前之勞侖茲變換矩陣:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\begin{pmatrix}1&-{\frac {v}{c^{2}}}\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97f2a6d4789ae683fc98d1945e3bd9fd5d5a189)
遂所有參照系不變之速限:
。
設慣性坐標系Σ之各軸之速量ux、uy、uz;Σ'之各軸之速量u'x、u'y、u'z:
![{\displaystyle u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449a933466899a70318fdb7b17dc5ffd24effb69)
![{\displaystyle u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17d906c1f03753bf97d8a0e516bcc7517dbfeb5)
![{\displaystyle u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cda46d098bcd424c560deb21752e43e4285cc5e)
v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式:
v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換:
![{\displaystyle u'_{x}=u_{x}-v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab32a3ff1f720dc9733bff6331a5dc291ebf9d23)
![{\displaystyle u'_{y}=u_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af48001cf8d56421602934a4ec62f702bd3c7fa)
![{\displaystyle u'_{z}=u_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951752b793410a595b1e81b5ddc6cc595f8061fd)
類時分量
、類空分量
之四維向量
,其閔考斯基範(Minkowski norm)乃勞倫茲不變量(Lorentz invariant):
。
仿寫:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-\mathbf {Z} \cdot {\boldsymbol {\beta }}\right){\mbox{,}}\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma A{\boldsymbol {\beta }}{\mbox{,}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3b93818dab84bb8225334e7728a445cb26dd40)
箇中
,
乃
方向上之單位向量。
、
分解成垂直
和平行
與位置向量之分解方法同。取逆變換與四維位置同,遂換
與
,後相反相對動向,即
。
常見之四維向量如下表:
四維向量
|
|
|
四維位置
|
時間(乘以 )
|
位置向量
|
四維動量
|
能量(除以 )
|
動量
|
四維波向量
|
角頻率(除以 )
|
波向量
|
四維自旋
|
(無名稱)
|
自旋
|
四維電流密度
|
電荷密度(乘以 )
|
電流密度
|
四維電磁位勢
|
電位(除以 )
|
磁向量位
|
平面幾何向量某
於原點以
順旋之。新系同向量
曰:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c409d2243b9512e36ebaf503bd57e78e7e7f8e)
長不變曰:
。
異角度
再旋之,向量新舊關係曰:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }\\y^{\prime \prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta +\phi )&\sin(\theta +\phi )\\-\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628971ce4c13db2c8c741bf20c8c4b7cf3c09af6)
即:續旋可加。
相似,定義快度
(略
和
)公式可曰:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8114a6fe3161c001b5624f6ad2a2c69eab797e72)
即:洛倫兹變換數學同於雙曲角旋轉。
旋長不變乃:
。
換異速
之系,再換
之。使
、
。即原系座標
兩換
曰:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }{}^{0}\\x^{\prime \prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh(w_{21}+w_{32})&-\sinh(w_{21}+w_{32})\\-\sinh(w_{21}+w_{32})&\cosh(w_{21}+w_{32})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe76c5d11cc0340ccec0982f000006b02f829eb4)
遂見直加之數非速
而乃角之
。
直加減惟因速遠小光(
)
速
。
終,直接轉換若兩速
即:
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{31}&=w_{21}+w_{32}\\\tanh w_{31}&=\tanh(w_{21}+w_{32})={\frac {\tanh w_{21}+\tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21}\tanh w_{32}}}\\\beta _{31}&={\frac {\beta _{21}+\beta _{32}}{1+\beta _{21}\beta _{32}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6be9a22189dd8bb0d06531b73846179a4481bc7)
得之相對論速率加法公式。