一元三次方程

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一立方函數之圖: 也。其根(即 截距)有三: ;其臨界點有二。

元數一而次數三之方程,是謂一元三次方程,或立方函數之方程也。常書一元三次方程為

解法[]

欲解一元三次方程,必先去二次項,而成簡版方程。後以卡贊諾韋達之法,皆能得解。其終式如下:

簡化[]

欲求甚解者,必先去其二次項。此乃求解之要步也,以便其思路,易生求解之法於心中。簡化時,全式除以 ,以 代之,得 之制,其中:

證:

終步則以 之三可能值加諸 成解也。

此步后,毋論卡贊諾之法或韋達之法,具解 也。

卡贊諾之法[]

大賢卡贊諾云:設 。得:

又:設 。則:

之解。以一元二次方程公式可解之。得:

復以單位根 之三可能值,以 (實解者相加,複解者系數乃共軛者相加)。遂以 得解也。

韋達之法[]

大賢韋達云:設 。得:

又:設 。則:

由是,得 解之一。以一元二次方程公式可解之。其解同上卡贊諾之法,緣此與彼同一方程也。

復以單位根 之三可能值,以 。遂以 得解也。

根之性[]

先設判別式

則:

,有實根一且共軛複根一雙;

,有多重實根,當中:

  • ,有一二重實根且一單實根。
  • ,有一三重實根。

,有三異實根。